energia kondensatora i napiecie na cewce

[cactooos]

Witam serdecznie. Mam problem z dwoma zadankami z elekrotechniki. Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiazaniu bo chyba nei widze jakiejs prostej rzeczy

zad 1
ile wynosi energia w kondensatorze o stalej pojemnosci C, jezeli na kondensatorze panuje napięcie \(\displaystyle{ u(t) = U _{m} sin (omega t)}\)

no i tak: moje myslenie co do rozwiazania wyglada nastepująco:

Energia kondensatora to \(\displaystyle{ \int_{0}^{t} u_{źr} \cdot i_{źr} dt}\) gdzie \(\displaystyle{ i = C \frac{du}{dt}}\) i w tym momencie mam problem. gdybysmy brali pod uwage u - napiecie stale to wynik bylby taki jak wszedzie w tablicach \(\displaystyle{ \frac{1}{2}C u^{2}}\) a tutaj mam zagwostkę. czy jakaś dobra dusza pomoże?



zad 2 (tutaj wogole nie wiem jak sie zabrać do drugiej części).

Przez cewkę o stałej indukcyjności L przepływa prąd i(t). wyznacz napięcie panujące na cewve, przedstaw jego postać w wartościach chwilowych, jeżeli \(\displaystyle{ i(t) = I _{m} cos(omega t)}\) oraz w wartościach zespolonych jeżeli prąd przepływający wynosi jI

pierwsza część zadania jest prosta:
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ u = \frac{d(Li)}{dt} = L \frac{di}{dt}}\)
zatem \(\displaystyle{ u(t)= - I _{m} omega sin (omega t) \cdot L}\)

a co z tymi wartościami zespolonymi?
bardzo proszę pomożcie

[mdd]

zad 1
ile wynosi energia w kondensatorze o stalej pojemnosci C, jezeli na kondensatorze panuje napięcie \(\displaystyle{ u(t) = U _{m} sin (\omega t)}\)

Załóżmy przebieg napięcia \(\displaystyle{ u_c(t)}\) na kondensatorze o pojemności \(\displaystyle{ C}\):

\(\displaystyle{ u_c(t)=U_m\sin(\omega t)}\)

Energię kondensatora \(\displaystyle{ E_c(t)}\) liczymy po prostu ze wzoru:

\(\displaystyle{ E_c(t)=\frac{1}{2}C u_c^2(t)=\frac{1}{2} CU_m^2 \sin^2(\omega t)=\frac{1}{2} CU_m^2 \cdot \frac{1}{2} \left( 1-\cos\left( 2 \omega t\right) \right)}\)

Zauważmy, że przy założonym sinusoidalnym przebiegu napięcia na kondensatorze prąd kondensatora \(\displaystyle{ i_c(t)}\) będzie wynosił:

\(\displaystyle{ i_c = C \frac{du_c}{dt}= \omega C U_m \cos(\omega t)}\)

Natomiast postępując w taki sposób, w jaki Ty podchodzisz do obliczenia energii \(\displaystyle{ E_c}\) kondensatora całkując moc chwilową \(\displaystyle{ p=u_c(t) \cdot i_c(t)}\) trzeba pamiętać, że:

\(\displaystyle{ E_c(t)= E_c(0) + \Delta E_c(t)}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ \Delta E_c(t)= \int\limits_{0}^{t} p(\tau) d\tau}\) - przyrost energii kondensatora

\(\displaystyle{ E_c(0)}\) - wartość energii kondensatora w chwili \(\displaystyle{ t=0}\)

\(\displaystyle{ E_c(t)= E_c(0) + \int\limits_{0}^{t}u_c(\tau) \cdot i_c(\tau) d \tau= E_c(0)+ \int\limits_{0}^{t} \omega C U_m^2 sin(\omega \tau) \cdot \cos(\omega \tau) d \tau = E_c(0) + \frac{1}{2} \omega C U_m^2 \int\limits_{0}^{t} sin(2\omega \tau) d \tau = E_c(0) + \frac{1}{4} CU_m^2 \cdot \left( 1-\cos\left( 2 \omega t\right) \right)}\)

Oczywiście: \(\displaystyle{ E_c(0)=\frac{1}{2} C u_c^2(0) =\frac{1}{2} CU_m^2 \sin^2(\omega \cdot 0) =0}\)

zad 2
Przez cewkę o stałej indukcyjności \(\displaystyle{ L}\) przepływa prąd \(\displaystyle{ i(t)}\). wyznacz napięcie panujące na cewve, przedstaw jego postać w wartościach chwilowych, jeżeli \(\displaystyle{ i(t) = I _{m} cos(\omega t)}\) oraz w wartościach zespolonych jeżeli prąd przepływający wynosi jI

pierwsza część zadania jest prosta:
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ u = \frac{d(Li)}{dt} = L \frac{di}{dt}}\)
zatem \(\displaystyle{ u(t)= - I _{m} \omega sin (\omega t) \cdot L}\)

a co z tymi wartościami zespolonymi?
bardzo proszę pomożcie

No ok. Jeśli chodzi o "wartości zespolone" chodzi o metodę symboliczną pewnie.

W metodzie symbolicznej dla prądu o przebiegu \(\displaystyle{ i(t) = I _{m} cos(\omega t)}\) tzw. wartość skuteczną zespoloną prądu zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ \underline{I}=\frac{I_m}{\sqrt{2}} e^{j \frac{ \pi }{2}}=j \frac{I_m}{\sqrt{2}}}\)

Ogólnie dla przebiegu czy to prądu czy napięcia postaci \(\displaystyle{ x(t)=A\sin\left( \omega t + \psi\right)}\)

...zapisujemy wartość skuteczną zespoloną jako: \(\displaystyle{ \underline{X}=\frac{A}{\sqrt{2}} e^{j \psi}}\)

Prawdopodobnie to o to chodzi autorowi zadania. Nie miałeś jeszcze wprowadzonej metody symbolicznej do obliczania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego?

[cactooos]

dziekuje no wlasnie nie mialem, a w ksiazce z bibliografii mamy tlyko dla pradu stalego