Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 4 cze 2013, o 09:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Od jakiegoś czasu nurtuje mnie pewien problem. Jestem laikiem w temacie, mam bardzo mgliste pojęcie o zbiorach nieskończonych i dowodzeniu równoliczności tych zbiorów. A konkretnie chodzi o to, że nie rozumiem jak interpretować fakt, że między dwoma zbiorami nieskończonymi może istnieć zarówno bijekcja jak i iniekcja nie będąca bijekcją. Weźmy zbiór liczb naturalnych parzystych \(\displaystyle{ X}\) i zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) - przepraszam, nie wiem, jak wpisać to kozackie \(\displaystyle{ \NN}\) z podwójną kreską. Istnieje bijekcja między tymi zbiorami - każdej liczbie \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) przyporządkowujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Ale istnieje też między tymi zbiorami iniekcja nie będąca bijekcją - np. każdej liczbie \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) przyporządkowujemy \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), albo i jakoś inaczej, możliwości przyporządkowania jest nieskończenie wiele.
A więc pierwsza rzecz to nie wiem, jak rozumieć ten fakt, jak to interpretować. Jeśli ktoś twierdziłby o dwóch zbiorach skończonych \(\displaystyle{ A, B}\), że istnieje między nimi zarówno bijekcja, jak i iniekcja nie będąca bijekcją to twierdziłby coś wewnętrznie sprzecznego. Dlaczego ze zbiorami nieskończonymi jest inaczej? Druga rzecz to czy pokazanie, że istnieje bijekcja między zbiorami jest wystarczające żeby pokazać, że zbiory te są równoliczne? Zgaduję, że tak, ale dlaczego? Istnienie iniekcji nie będącej bijekcją raczej wskazuje, że zbiory nie są równoliczne. Dlaczego więc "olewamy" fakt istnienia injekcji nie będącej bijekcją i uznajemy, że skoro jest bijekcja to zbiory są równoliczne? Trzecia rzecz to pytanie - kiedy pokazanie, że między zbiorami \(\displaystyle{ X, Y}\) istnieje iniekcja nie będąca bijekcją jest pokazaniem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są równoliczne? Wystarczy, że są skończone? Jeśli tak to dlaczego dowód "działający" dla skończonych jest niepoprawny dla nieskończonych?
Dziękuję za każdą odpowiedź, która pozwoli mi jakoś dojść z tym do ładu (albo wskazanie, gdzie takie problemy były już omawiane - forum jest bardzo rozbudowane i przejrzałem tylko niewielką jego część w poszukiwaniu odpowiedzi na moje pytania)
A więc pierwsza rzecz to nie wiem, jak rozumieć ten fakt, jak to interpretować. Jeśli ktoś twierdziłby o dwóch zbiorach skończonych \(\displaystyle{ A, B}\), że istnieje między nimi zarówno bijekcja, jak i iniekcja nie będąca bijekcją to twierdziłby coś wewnętrznie sprzecznego. Dlaczego ze zbiorami nieskończonymi jest inaczej? Druga rzecz to czy pokazanie, że istnieje bijekcja między zbiorami jest wystarczające żeby pokazać, że zbiory te są równoliczne? Zgaduję, że tak, ale dlaczego? Istnienie iniekcji nie będącej bijekcją raczej wskazuje, że zbiory nie są równoliczne. Dlaczego więc "olewamy" fakt istnienia injekcji nie będącej bijekcją i uznajemy, że skoro jest bijekcja to zbiory są równoliczne? Trzecia rzecz to pytanie - kiedy pokazanie, że między zbiorami \(\displaystyle{ X, Y}\) istnieje iniekcja nie będąca bijekcją jest pokazaniem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są równoliczne? Wystarczy, że są skończone? Jeśli tak to dlaczego dowód "działający" dla skończonych jest niepoprawny dla nieskończonych?
Dziękuję za każdą odpowiedź, która pozwoli mi jakoś dojść z tym do ładu (albo wskazanie, gdzie takie problemy były już omawiane - forum jest bardzo rozbudowane i przejrzałem tylko niewielką jego część w poszukiwaniu odpowiedzi na moje pytania)
Ostatnio zmieniony 4 cze 2013, o 11:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Administrator
- Posty: 34397
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Bo są nieskończone...barko pisze:A więc pierwsza rzecz to nie wiem, jak rozumieć ten fakt, jak to interpretować. Jeśli ktoś twierdziłby o dwóch zbiorach skończonych \(\displaystyle{ A, B}\), że istnieje między nimi zarówno bijekcja, jak i iniekcja nie będąca bijekcją to twierdziłby coś wewnętrznie sprzecznego. Dlaczego ze zbiorami nieskończonymi jest inaczej?
Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi to fakt, że naturalna intuicje, związane ze zbiorami skończonymi, ich zazwyczaj nie dotyczą.
Bo taka jest definicja równoliczności właśnie - istnienie bijekcji.barko pisze:Druga rzecz to czy pokazanie, że istnieje bijekcja między zbiorami jest wystarczające żeby pokazać, że zbiory te są równoliczne? Zgaduję, że tak, ale dlaczego?
Dlaczego? Patrz: "Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi... "barko pisze: Istnienie iniekcji nie będącej bijekcją raczej wskazuje, że zbiory nie są równoliczne.
My tego nie "uznajemy", my przyjmujemy taką definicję równoliczności, "olewanie" istnienia injekcji nie będącej bijekcją jest tylko tego konsekwencją.barko pisze:Dlaczego więc "olewamy" fakt istnienia injekcji nie będącej bijekcją i uznajemy, że skoro jest bijekcja to zbiory są równoliczne?
barko pisze:Trzecia rzecz to pytanie - kiedy pokazanie, że między zbiorami \(\displaystyle{ X, Y}\) istnieje iniekcja nie będąca bijekcją jest pokazaniem, że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są równoliczne? Wystarczy, że są skończone?
Tylko dla zbiorów skończonych.
Patrz: "Pierwsza rzecz, którą trzeba zaakceptować, zajmując się zbiorami nieskończonymi... "barko pisze:Jeśli tak to dlaczego dowód "działający" dla skończonych jest niepoprawny dla nieskończonych?
Zbiór skończony nie może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem, a nieskończony może.
JK
Post nr 11111
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 4 cze 2013, o 09:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Dzięki serdeczne za odpowiedź
Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów? Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów. Wtedy wydaje mi się, że pytanie czy dowolne zbiory równoliczne są też szrównoliczne nie jest trywialne. Bo istnienie bijekcji między zbiorami \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) dowodzi, że są równoliczne (taką mamy definicję), ale nie jest oczywiste, że dowodzi, że zbiory te są szrównoliczne. Bo powiedzmy, że \(\displaystyle{ A}\) to zbiór liczb naturalnych, a \(\displaystyle{ B}\) naturalnych parzystych. Wtedy istnieje bijekcja między tymi zbiorami, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest identyczna. Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna. Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0. Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.Jan Kraszewski pisze: Bo taka jest definicja równoliczności właśnie - istnienie bijekcji.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
A co to znaczy, że mają identyczną liczbę elementów? Jak to zdefiniujesz?Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów? Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów.
To, że istnieje iniekcja niebędąca bijekcją jest domeną zbiorów nieskończonych. Pisał o tym już JK. Wskazanie iniekcji dowodzi tylko tyle, że \(\displaystyle{ A}\) ma nie więcej elementów niż \(\displaystyle{ B}\). A teraz zagadka dla Ciebie.Wtedy istnieje bijekcja między tymi zbiorami, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest identyczna. Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna. Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0. Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.
Ze zbioru liczb parzystych w zbiór liczb naturalnych wskazanie iniekcji to nie problem. Identyczność. To ja teraz biorę iniekcję ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb parzystych, daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=4x}\). Co teraz Twoja definicja powie? Wskazałem Ci wszak dwie iniekcje w obie strony.
-
- Administrator
- Posty: 34397
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Powiedzieć możemy, ale co z tego, skoro nie masz zdefiniowanego pojęcia "liczba elementów"? To, co proponujesz, to nie jest definicja.barko pisze:Ok, a co gdybyśmy powiedzieli, że zbiory są równoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów?Albo, powiedzmy, że zbiory są szrównoliczne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów.
A co to jest "ilość elementów"?barko pisze:Ale istnieje również iniekcja nie będąca bijekcją, co wskazuje (intuicyjnie), że ilość elementów jest różna.
Nie. Matematycy odpowiadają, że oba te zbiory są równoliczne, czyli mają tę samą liczbę elementów. A powiedzenie, czym może być liczba elementów, to już kolejny stopień - porządne wprowadzenie liczb kardynalnych wymaga trochę pracy.barko pisze:Więc co mamy na to powiedzieć? Z tego, co mi się wydaje to matematycy odpowiadają, że oba zbiory mają identyczną liczbę elementów - alef 0.
Jak dla mnie mylisz porównywanie zbiorów pod względem zawierania z porównywaniem względem liczby elementów.barko pisze:Ale to wygląda na arbitralne preferowanie intuicji bijekcyjnej nad intuicję iniekcji nie będącej bijekcją. Jak dla mnie ta preferencja wymaga jakiegoś uzasadnienia.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 4 cze 2013, o 09:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne jak "krzywa" albo "część krzywej".
Ok, chyba ta rozmowa osiągnęła już swój koniec. Dzięki za pomoc
Ok, chyba ta rozmowa osiągnęła już swój koniec. Dzięki za pomoc
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Tak samo można powiedzieć, że funkcja jest czymś "dostatecznie jasnym". W matematyce każdy obiekt powinien mieć swoją definicję, chyba że jest obiektem pierwotnym - niedefiniowalnym, jak zbiór. Krzywa akurat posiada swoją definicję. Identyczna liczba elementów też może zostać zdefiniowana, a ponieważ tego nie robisz, tak na prawdę nie wiadomo, co to znaczy, gdyż intuicja jest poprawna tylko dla zbiorów skończonych. Dla nieskończonych już nie, gdyż istnienie "nieskończenie" wiele różnych nieskończoności.barko pisze:Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne jak "krzywa" albo "część krzywej".
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
W jaki sposób zatem próbowałbyś odpowiedzieć na pytanie czy zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o elementach wymiernych ma tyle samo elementów co zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych?barko pisze:Nie widzę potrzeby definiowania, co to jest "liczba/ilość elemtentów" albo "posiadanie tej samej/identycznej liczby elementów" - te sformułowania wydają mi się dostatecznie jasne
Q.
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
skoro o mamy bijekcję to mamy równoważność, a skoro równoważność to klasę równoważności i tym jest liczba kardynalna.
-
- Administrator
- Posty: 34397
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
Jeżeli nie wiesz dokładnie, to lepiej nie pisz. To jest intuicyjna, a nie formalna interpretacja.artbyte pisze:skoro o mamy bijekcję to mamy równoważność, a skoro równoważność to klasę równoważności i tym jest liczba kardynalna.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34397
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Problem laika ze zbiorami nieskończonymi
No to jest właśnie intuicja dla niematematyków, a nie formalne podejście.
JK
JK