Pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{x}} dx}\)
suma szeregu równa całce
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
suma szeregu równa całce
Najpierw zapewnij sobie przynajmniej ciągłość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^x} = \begin{cases} e^{-x\ln x} \mbox{ dla } x>0 \\ 1 \mbox{ dla } x=0 \end{cases}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n\ln^nx}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Co wynika z rozwinięcia w szereg funkcji \(\displaystyle{ e^t}\).
A teraz wykorzystaj twierdzenie o możliwości całkowania szeregów funkcyjnych i dostaniesz:
\(\displaystyle{ \int_0^1\frac{dx}{x^x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n\ln^nxdx}\)
A tę całkę powinno dać się policzyć przez części.
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^x} = \begin{cases} e^{-x\ln x} \mbox{ dla } x>0 \\ 1 \mbox{ dla } x=0 \end{cases}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n\ln^nx}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Co wynika z rozwinięcia w szereg funkcji \(\displaystyle{ e^t}\).
A teraz wykorzystaj twierdzenie o możliwości całkowania szeregów funkcyjnych i dostaniesz:
\(\displaystyle{ \int_0^1\frac{dx}{x^x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n\ln^nxdx}\)
A tę całkę powinno dać się policzyć przez części.
-
JakubCh
- Użytkownik
- Posty: 613
- Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
- Podziękował: 265 razy
- Pomógł: 5 razy
suma szeregu równa całce
dzięki, a potrafisz odpowiedzieć na pytanie, czy istnieją inne takie funkcje, spełniające równość \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } f\left( n\right) = \int_{0}^{1} f\left( x\right) dx}\)?-- 8 cze 2013, o 23:01 --poza tym tamta całka po przeliczeniu nie wychodzi taka jak powinna
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
suma szeregu równa całce
Ciężko mi powiedzieć ale przemyślę. To Twoje pytanie czy jakieś zadanie z książki/zajęć?
Nie liczyłem dokładnie tej całki ale na pierwszy rzut oka powinno wyjść dobrze przez części.
\(\displaystyle{ I_{m,n} = \int_0^1x^m\ln^nxdx = \left[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\ln^nx\right]_0^1 - \frac{n}{m+1}\int_0^1x^m\ln^{n-1}xdx = -\frac{n}{m+1}I_{m,n-1}}\)
Mamy
\(\displaystyle{ I_{m,1}=-\frac{1}{m+1}I_{m,0}}\)
\(\displaystyle{ I_{m,2}=\frac{2}{(m+1)^2}I_{m,0}}\)
Więc można podejrzewać, że (indukcyjny dowód w formalnym przypadku):
\(\displaystyle{ I_{m,n}=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^n}I_{m,0}}\)
Ale \(\displaystyle{ I_{m,0}=\frac{1}{m+1}}\)
Więc \(\displaystyle{ I_{n,n}=(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}}\)
Wstawić, poskracać, przenumerować i się zgadza.
Nie liczyłem dokładnie tej całki ale na pierwszy rzut oka powinno wyjść dobrze przez części.
\(\displaystyle{ I_{m,n} = \int_0^1x^m\ln^nxdx = \left[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\ln^nx\right]_0^1 - \frac{n}{m+1}\int_0^1x^m\ln^{n-1}xdx = -\frac{n}{m+1}I_{m,n-1}}\)
Mamy
\(\displaystyle{ I_{m,1}=-\frac{1}{m+1}I_{m,0}}\)
\(\displaystyle{ I_{m,2}=\frac{2}{(m+1)^2}I_{m,0}}\)
Więc można podejrzewać, że (indukcyjny dowód w formalnym przypadku):
\(\displaystyle{ I_{m,n}=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^n}I_{m,0}}\)
Ale \(\displaystyle{ I_{m,0}=\frac{1}{m+1}}\)
Więc \(\displaystyle{ I_{n,n}=(-1)^n\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}}\)
Wstawić, poskracać, przenumerować i się zgadza.
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
suma szeregu równa całce
To pytanie jest tak oczywiste, że aż za bardzo. Przecież mając dany zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n) = c}\) zawsze można dookreślić sobie funkcję na przedziale \(\displaystyle{ [0,1)}\) jako \(\displaystyle{ f(x)= c}\). Przez to rozwijanie w szereg od razu założyłem, że ta funkcja ma być analityczna a przecież w pytaniu tego założenia nie ma.