Równanie Stochastyczne

[Cynamikka_]

Mam taki oto problem:
Udowodnij, że jeśli
\(\displaystyle{ dX(t)=bX(t)dt+adW(t),}\)
to
\(\displaystyle{ d(X _{1} \cdot X_{2}) = X_{1}(t) dX_{2}(t) + (dX_{1}(t)) X_{2}(t) + b_{1} \cdot b_{2} \cdot dt}\)

gdzie \(\displaystyle{ W(t)}\) to proces Wienera, a \(\displaystyle{ X_{1}(t), X_{2}(t)}\) to inne procesy stochastyczne.
Na zajęciach zostało to nazwane całkowaniem przez części, ale nigdzie w książkach tego nie mogę znaleźć, a pod całkowaniem przez części jest zupełnie coś innego.

Jeśli ktoś wie jak to zrobić, albo wie gdzie tego szukać, to proszę o informację.

[Kamil_B]

Tam na końcu powinno być chyba \(\displaystyle{ a_1\cdot a_2\cdot dt}\) zamiast \(\displaystyle{ b_1\cdot b_2 \cdot dt}\).
Zastosuj lemat Ito dla funkcji \(\displaystyle{ f(t,x,y)=xy}\) oraz procesu \(\displaystyle{ (X_1(t),X_2(t))}\).

[Cynamikka_]

Tak, tak, tam powinno być \(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot dt}\)
Mam jeszcze problem z zapisaniem wzoru z tego lematu dla funkcji 3 zmiennych. Dobrze myślę, że to będzie wyglądac tak:
\(\displaystyle{ (\frac{\partial f}{\partial t} + a_{1} \cdot \frac{\partial f}{\partial X_{1}} + a_{2} \cdot \frac{\partial f}{\partial X_{2}} + \frac{1}{2} \cdot b_{1}^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial X_{1}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot b_{2}^{2}\frac{\partial ^{2} f}{\partial X_{2}^{2}} +\frac{\partial ^{2} f}{\partial X_{1} \partial X_{2} }) dt +( b_{1} \cdot \frac{\partial f}{\partial X_{1}} +b_{2} \cdot \frac{\partial f}{\partial X_{2}}) dW(t)}\)

[Kamil_B]

Nie do końca.
Zobacz np. (str.3) na sformułowanie wielowymiarowej formuły Ito.
Powinnaś zamiast \(\displaystyle{ a_i}\) pisać \(\displaystyle{ b_i X_i(t)}\), natomiast zamiast \(\displaystyle{ b_i}\) pisać \(\displaystyle{ a_i}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,2}\) (zobacz określenia procesów \(\displaystyle{ X_1}\) oraz \(\displaystyle{ X_2}\)).
Możesz dodać argumenty funkcji f i dobrze byłoby jednak pisać np. \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(t,x,y)}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial X_{1}}}\), gdyż \(\displaystyle{ X_1}\) jest oznaczeniem na konkretny proces.
Poza tym pisz \(\displaystyle{ dt\mid_{(t,X_1(t),X_2(t))}}\) zamiast samego \(\displaystyle{ dt}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ dW_t}\).
Winno być również \(\displaystyle{ a_1 a_2\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y }(t,x,y)}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} f}{\partial X_{1} \partial X_{2} }}\).

[Cynamikka_]

Ok. Dzięki.
Mam jeszcze (pewnie głupie) pytanie: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) zależą od \(\displaystyle{ t}\) ?
Z jednej strony z tego wykładu wynika, że zależą (tam jest \(\displaystyle{ X_{t}^{1}, \dots , X_{t}^{d}}\)) i jeśli dobrze myślę, to \(\displaystyle{ X_{t}}\) to po prostu inny zapis \(\displaystyle{ X(t)}\).

Przy tym moim zadaniu jest też adnotacja, że \(\displaystyle{ (dW(t))^{2} \approx dt}\). A w pewnym momencie pojawia mi się w obliczeniach \(\displaystyle{ dW_{t} \cdot dt}\) i nie wiem pojęcia co z tym zrobić.

[Kamil_B]

\(\displaystyle{ X_t}\) to inny zapis \(\displaystyle{ X(t)}\), natomiast \(\displaystyle{ x,y}\) nie zależą od \(\displaystyle{ t}\).
Nie bardzo wiem, gdzie pojawia Ci się skłądnik \(\displaystyle{ dW_t \cdot dt}\). Tutaj wystarczy podstawić pochodne cząstkowe funkcji f do lematu Ito i następnie skorzystać z określenia \(\displaystyle{ dX_1(t)}\) oraz \(\displaystyle{ dX_2(t)}\).

[Cynamikka_]

Już po napisaniu tego posta wyżej, znalazłam błąd.
Robię dokładnie tak jak napisałeś, ale teraz stanęłam w jednym miejscu i nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ d(X_{1} \cdot X_{2}) = (dX_{1}(t)) \cdot X_{2}(t) + (dX_{2}(t)) \cdot X_{1}(t) + (\frac{1}{2} a_{1}^{2} (X_{2}(t))^{2} + \frac{1}{2} a_{2}^{2} (X_{1}(t))^{2} + a_{1} \cdot a_{2} \cdot X_{2}(t) \cdot X_{1}(t) )dt}\)

Czyli połowę roboty za mną, teraz żeby się zgadzało do końca z tezą zadania trzeba by (na chłopski rozum) wyzerować 2 wyrażenia w nawiasie i skądś wziąć, że \(\displaystyle{ X_{1}(t) \cdot X_{2}(t) =1}\)

Póki co kombinuję i mi nic sensownego nie wychodzi.

[Kamil_B]

Strasznie jest nieczytelne, to co napisałaś. Co więcej wygląda na niepoprawne.
Dla przykładu: skąd pochodzi czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{2} a_{2}^{2} (X_{1}(t))^{2}}\) ?
Przecież mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot a_{2}^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(t,x,y)\mid_{(t,X_1(t),X_2(t))}=0}\), bo \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(t,x,y)=0}\).
Analogicznie dla czynnika z \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(t,x,y)}\).
Sprawdź jeszcze raz porządnie obliczenia.

[Cynamikka_]

Obliczenia miałam dobre, ale wzór z lematu ito przepisałam z malutkim błędem Teraz już wszystko mi wyszło.
Dzięki wielkie!