Cześć
Aby otrzymać zaliczenie z topologii muszę mieć rozwiązania następujących zadań:
zad.1
Czy obwód kwadratu jest podprzestrzenią zwartą płaszczyzny? Czy jest homeomorficzny
z okręgiem?
Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecina-
jących się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?
zad.2
Dane są na płaszczyźnie euklidesowej dwie proste przecinające się i półpłaszczyzna do-
mknięta, nie zawierająca ich punktu przecięcia. Udowodnić, że dla pewnego punktu pół-
płaszczyzny suma odległości od tych prostych jest minimalna.
zad.3
Podprzestrzeń X płaszczyzny euklidesowej jest sumą skończonej liczby okręgów, z któ-
rych każde dwa mają punkt wspólny. Czy X jest obrazem ciągłym odcinka (domkniętego,
otwartego, z jednym końcem)? Czy X jest zwarta?
zad.4
Udowodnić, że odwzorowanie homeomorficzne jednego przedziału liczbowego na drugi jest
ściśle monotoniczne.
Z góry dziękuję za pomoc :*
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
-
Calineczka93
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 29 maja 2013, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Cieszyn
-
szw1710
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
ad 4. Każda funkcja ciągła i różnowartościowa określona na przedziale jest ściśle monotoniczna - to podstawowa własność funkcji ciągłych. Dowód powinien być w Lei bądź w Fichtenholzu.
ad 1. Jest zwarty, homeomorficzny z okręgiem. Te podprzestrzenie to takie "X"? Odcinek otwarty rozumiesz w sensie bez końców? Zastanów się nad homeomorficznością.
ad 1. Jest zwarty, homeomorficzny z okręgiem. Te podprzestrzenie to takie "X"? Odcinek otwarty rozumiesz w sensie bez końców? Zastanów się nad homeomorficznością.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Chyba brzeg kwadratu? Bo obwód to liczba...Calineczka93 pisze: zad.1
Czy obwód kwadratu jest podprzestrzenią zwartą płaszczyzny? Czy jest homeomorficzny
z okręgiem?
Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecina-
jących się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?
Kwadrat jest zbiorem ograniczonym, zatem jego brzeg też. Brzeg ten jest ograniczony i domknięty, więc?
Jest homeomorficzny w sposób oczywisty.
Tak.-- 29 maja 2013, 20:26 --
Prosta \(\displaystyle{ \ell}\) ograniczająca półpłaszczyznę przecina się z dwiema danymi prostymi, wyznaczając trójkąt. Wystarczy teraz rozważyć odwzorowanie, które punktowi z boku trójkąta leżącego na prostej \(\displaystyle{ \ell}\) przypisuje odległość od pozostałych prostych. Jako że bok zawarty w \(\displaystyle{ \ell}\) jest zbiorem zwarty, to kresy funkcji odległości są osiągalne.Calineczka93 pisze: zad.2
Dane są na płaszczyźnie euklidesowej dwie proste przecinające się i półpłaszczyzna do-
mknięta, nie zawierająca ich punktu przecięcia. Udowodnić, że dla pewnego punktu pół-
płaszczyzny suma odległości od tych prostych jest minimalna.
-
Calineczka93
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 29 maja 2013, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Cieszyn
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Tak, chodziło o brzeg. W książce był błąd. Przepraszam...yorgin pisze: Chyba brzeg kwadratu? Bo obwód to liczba...
Nie rozumiem do końca pytania : "Te podprzestrzenie to takie "\(\displaystyle{ X}\)"? ". Podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest opisana w pierwszym zdaniu zadania.szw1710 pisze:ad 1. Jest zwarty, homeomorficzny z okręgiem. Te podprzestrzenie to takie "\(\displaystyle{ X}\)"? Odcinek otwarty rozumiesz w sensie bez końców? Zastanów się nad homeomorficznością.
Tak, odcinek otwarty - bez końców (tzn. \(\displaystyle{ (a,b)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) nie należą do \(\displaystyle{ (a,b)}\) ).
Ostatnio zmieniony 1 cze 2013, o 16:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
szw1710
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Jak wygląda odcinek \(\displaystyle{ (a,b)}\) na płaszczyźnie?
Odcinek z końcami jest domknięty i na płaszczyźnie w topologii naturalnej ma wnętrze puste, a więc nie jest otwarty. Odcinek bez końców nie jest ani otwarty, ani domknięty.
Odcinek z końcami jest domknięty i na płaszczyźnie w topologii naturalnej ma wnętrze puste, a więc nie jest otwarty. Odcinek bez końców nie jest ani otwarty, ani domknięty.
-
szw1710
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Tak to jest, nawet tak się oznacza, przy czym \(\displaystyle{ a,b}\) stanowią tu punkty płaszczyzny.
-
Calineczka93
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 29 maja 2013, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Cieszyn
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Dziękuję za wszystkie sugestie. Ma ktoś może pomysł jak zrobić zad.3 ?
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
W zadaniu trzecim zwartość wynika wprost z tego, że każdy okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, a więc zwartym, a mnogościowa suma skończonej liczby zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.
Pierwsze pytanie ma odpowiedź twierdzącą. Wystarczy rozpocząć w jakimś punkcie rysowanie tego zbioru, obrysować kolejno wszystkie okręgi. Można przechodzić kilka razy przez te same punkty i zachować ciągłość bez najmniejszego problemu.
Pierwsze pytanie ma odpowiedź twierdzącą. Wystarczy rozpocząć w jakimś punkcie rysowanie tego zbioru, obrysować kolejno wszystkie okręgi. Można przechodzić kilka razy przez te same punkty i zachować ciągłość bez najmniejszego problemu.
-
Calineczka93
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 29 maja 2013, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Cieszyn
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Z Waszym wsparciem udało mi się napisać poniższe odpowiedzi. Proszę Was o sprawdzenie, czy są poprawne i wystarczające
ad.1
Brzeg kwadratu jest zbiorem domkniętym oraz jest ograniczony, ponieważ każdy kwadrat jest skończony, więc można go ograniczyć przez większy kwadrat. W takim razie otrzymujemy z twierdzenia Heingo-Borelo, że brzeg kwadratu jest podprzestrzenią zwartą.
Ponieważ okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną, a taką łamaną jest między innymi brzeg kwadratu, otrzymujemy, że brzeg kwadratu jest homeomorficzny z okręgiem.
(Brakuje mi odpowiedzi na pytanie: "Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecinających się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?". Wydaje mi się, że nie są homeomorficzne. Wtedy wystarczy podać jakiś przykład tych podprzestrzeni niehomeomorficznych, tylko nie wiem jaki (o ile intuicja mnie nie zawodzi) )
ad.2
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ l}\) - prosta ograniczająca płaszczyznę
\(\displaystyle{ p,q}\) - proste przecinające się
Rozważmy 2 przypadki:
Przypadek 1.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie równoległa do jednej z prostych \(\displaystyle{ p,q}\).
Przyjmijmy, że prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległą do prostej \(\displaystyle{ p}\). Dostajemy, że nasz szukany punkt leży na przecięciu prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ q}\). Wtedy nasz punkt leży w odległości \(\displaystyle{ 0}\) od prostej \(\displaystyle{ q}\) i w odległości \(\displaystyle{ a}\) od prostej \(\displaystyle{ p}\). Jeżeli wzięlibyśmy inny punkt należący do półpłaszczyzny, to suma odległości wynosiłaby, dla \(\displaystyle{ x,y>0}\), \(\displaystyle{ x+a+y>a+0}\).
Przypadek 2.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina proste \(\displaystyle{ p,q}\).
Wtedy otrzymujemy trójkąt ograniczony przez te 3 proste , gdyż punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ p,q}\) nie należy do naszej półpłaszczyzny. Nasz szukany punkt leży na odcinku należącym do prostej \(\displaystyle{ l}\) ograniczonym przez proste \(\displaystyle{ p,q}\). Ponieważ nasz odcinek zawiera zbiór punktów leżących jednocześnie najbliżej prostych \(\displaystyle{ p,q}\). Gdybyśmy wybrali jakikolwiek inny punkt spoza tego odcinka i należący do półpłaszczyzny, to by nasza suma odległości się zwiększyła podobnie jak w przypadku 1.
ad.3
(Tu mam spore obawy co do pierwszego akapitu)
Każdy odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, ponieważ są one homeomorficzne. Nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby okręgów, z których każde 2 mają punkt wspólny. Stąd \(\displaystyle{ X}\) jest krzywą łamaną zamkniętą, z którą jest homeomorficzny każdy okag. Zatem skoro odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, a ten z kolei jest homeomorficzny z X, to dostajemy, że odcinek domknięty jest obrazem ciągłym \(\displaystyle{ X}\).
Każdy okrąg jest domknięty i ograniczony. Stąd każdy okrąg jest zwarty. Ponieważ nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby zbiorów zwartych, to też jest zwarty.
ad.4
Odwzorowaniem homeomorficznym odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\) w \(\displaystyle{ [c,d]}\) jest funkcja postaci \(\displaystyle{ y= \frac{d-c}{b-a} \cdot x+ \frac{bc-ad}{b-a}}\). Funkcja jest ściśle monotoniczna, gdy \(\displaystyle{ x_{0}>x_{1} \Rightarrow f(x_{0})>f(x_{1})}\) lub \(\displaystyle{ x_{0}<x_{1} \Rightarrow f(x_{0})<f(x_{1})}\).
Rozpatrzmy pierwszy przypadek.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}>0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) >0}\)
Podobnie dla drugiego przypadku.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}<0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) <0}\)
Z góry dziękuję za pomoc
ad.1
Brzeg kwadratu jest zbiorem domkniętym oraz jest ograniczony, ponieważ każdy kwadrat jest skończony, więc można go ograniczyć przez większy kwadrat. W takim razie otrzymujemy z twierdzenia Heingo-Borelo, że brzeg kwadratu jest podprzestrzenią zwartą.
Ponieważ okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną, a taką łamaną jest między innymi brzeg kwadratu, otrzymujemy, że brzeg kwadratu jest homeomorficzny z okręgiem.
(Brakuje mi odpowiedzi na pytanie: "Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecinających się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?". Wydaje mi się, że nie są homeomorficzne. Wtedy wystarczy podać jakiś przykład tych podprzestrzeni niehomeomorficznych, tylko nie wiem jaki (o ile intuicja mnie nie zawodzi) )
ad.2
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ l}\) - prosta ograniczająca płaszczyznę
\(\displaystyle{ p,q}\) - proste przecinające się
Rozważmy 2 przypadki:
Przypadek 1.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie równoległa do jednej z prostych \(\displaystyle{ p,q}\).
Przyjmijmy, że prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległą do prostej \(\displaystyle{ p}\). Dostajemy, że nasz szukany punkt leży na przecięciu prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ q}\). Wtedy nasz punkt leży w odległości \(\displaystyle{ 0}\) od prostej \(\displaystyle{ q}\) i w odległości \(\displaystyle{ a}\) od prostej \(\displaystyle{ p}\). Jeżeli wzięlibyśmy inny punkt należący do półpłaszczyzny, to suma odległości wynosiłaby, dla \(\displaystyle{ x,y>0}\), \(\displaystyle{ x+a+y>a+0}\).
Przypadek 2.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina proste \(\displaystyle{ p,q}\).
Wtedy otrzymujemy trójkąt ograniczony przez te 3 proste , gdyż punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ p,q}\) nie należy do naszej półpłaszczyzny. Nasz szukany punkt leży na odcinku należącym do prostej \(\displaystyle{ l}\) ograniczonym przez proste \(\displaystyle{ p,q}\). Ponieważ nasz odcinek zawiera zbiór punktów leżących jednocześnie najbliżej prostych \(\displaystyle{ p,q}\). Gdybyśmy wybrali jakikolwiek inny punkt spoza tego odcinka i należący do półpłaszczyzny, to by nasza suma odległości się zwiększyła podobnie jak w przypadku 1.
ad.3
(Tu mam spore obawy co do pierwszego akapitu)
Każdy odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, ponieważ są one homeomorficzne. Nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby okręgów, z których każde 2 mają punkt wspólny. Stąd \(\displaystyle{ X}\) jest krzywą łamaną zamkniętą, z którą jest homeomorficzny każdy okag. Zatem skoro odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, a ten z kolei jest homeomorficzny z X, to dostajemy, że odcinek domknięty jest obrazem ciągłym \(\displaystyle{ X}\).
Każdy okrąg jest domknięty i ograniczony. Stąd każdy okrąg jest zwarty. Ponieważ nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby zbiorów zwartych, to też jest zwarty.
ad.4
Odwzorowaniem homeomorficznym odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\) w \(\displaystyle{ [c,d]}\) jest funkcja postaci \(\displaystyle{ y= \frac{d-c}{b-a} \cdot x+ \frac{bc-ad}{b-a}}\). Funkcja jest ściśle monotoniczna, gdy \(\displaystyle{ x_{0}>x_{1} \Rightarrow f(x_{0})>f(x_{1})}\) lub \(\displaystyle{ x_{0}<x_{1} \Rightarrow f(x_{0})<f(x_{1})}\).
Rozpatrzmy pierwszy przypadek.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}>0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) >0}\)
Podobnie dla drugiego przypadku.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}<0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) <0}\)
Z góry dziękuję za pomoc
-
lukasz.przontka
- Użytkownik
- Posty: 234
- Rejestracja: 31 maja 2009, o 12:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suszec
- Pomógł: 37 razy
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
3. \(\displaystyle{ X}\) jest homeomorficzna sumie kwadratów \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^n K_i}\), gdzie \(\displaystyle{ K_I}\) jest kwadratem o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (i-1,0),(i- 1/2,1/2),(i,0),(i-1/2,-1/2)}\). Jest zatem zwarta oraz istnieje przekształcenie ciągłe odcinka domkniętego na tą przestrzeń.
@Edit... jak zwykle źle przeczytałem zadanie i myślałem, że mówimy o kołach...
@Edit... jak zwykle źle przeczytałem zadanie i myślałem, że mówimy o kołach...
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zadania na zaliczenie z topologii cz. 2
Co to znaczy, że kwadrat jest skończony?Calineczka93 pisze:ad.1
Brzeg kwadratu jest zbiorem domkniętym oraz jest ograniczony, ponieważ każdy kwadrat jest skończony, więc można go ograniczyć przez większy kwadrat. W takim razie otrzymujemy z twierdzenia Heingo-Borelo, że brzeg kwadratu jest podprzestrzenią zwartą.
Według mnie są homeomorficzne.Calineczka93 pisze:
(Brakuje mi odpowiedzi na pytanie: "Czy każde dwie podprzestrzenie płaszczyzny, z których każda jest sumą dwóch przecinających się w jednym punkcie odcinków otwartych, są homeomorficzne?". Wydaje mi się, że nie są homeomorficzne. Wtedy wystarczy podać jakiś przykład tych podprzestrzeni niehomeomorficznych, tylko nie wiem jaki (o ile intuicja mnie nie zawodzi) )
Ok, chociaż te odległości po zmianie punktu są trochę inne.Calineczka93 pisze: ad.2
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ l}\) - prosta ograniczająca płaszczyznę
\(\displaystyle{ p,q}\) - proste przecinające się
Rozważmy 2 przypadki:
Przypadek 1.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie równoległa do jednej z prostych \(\displaystyle{ p,q}\).
Przyjmijmy, że prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległą do prostej \(\displaystyle{ p}\). Dostajemy, że nasz szukany punkt leży na przecięciu prostych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ q}\). Wtedy nasz punkt leży w odległości \(\displaystyle{ 0}\) od prostej \(\displaystyle{ q}\) i w odległości \(\displaystyle{ a}\) od prostej \(\displaystyle{ p}\). Jeżeli wzięlibyśmy inny punkt należący do półpłaszczyzny, to suma odległości wynosiłaby, dla \(\displaystyle{ x,y>0}\), \(\displaystyle{ x+a+y>a+0}\).
Póki co nie dowiodłaś jeszcze, że istnieje punkt z treści zadania.Calineczka93 pisze: Przypadek 2.:
Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina proste \(\displaystyle{ p,q}\).
Wtedy otrzymujemy trójkąt ograniczony przez te 3 proste , gdyż punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ p,q}\) nie należy do naszej półpłaszczyzny. Nasz szukany punkt leży na odcinku należącym do prostej \(\displaystyle{ l}\) ograniczonym przez proste \(\displaystyle{ p,q}\). Ponieważ nasz odcinek zawiera zbiór punktów leżących jednocześnie najbliżej prostych \(\displaystyle{ p,q}\). Gdybyśmy wybrali jakikolwiek inny punkt spoza tego odcinka i należący do półpłaszczyzny, to by nasza suma odległości się zwiększyła podobnie jak w przypadku 1.
Słuszne obawy. Cały pierwszy akapit jest nieprawdziwy. Drugi jest ok.Calineczka93 pisze: ad.3
Każdy odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, ponieważ są one homeomorficzne. Nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby okręgów, z których każde 2 mają punkt wspólny. Stąd \(\displaystyle{ X}\) jest krzywą łamaną zamkniętą, z którą jest homeomorficzny każdy okag. Zatem skoro odcinek domknięty jest obrazem ciągłym okręgu, a ten z kolei jest homeomorficzny z X, to dostajemy, że odcinek domknięty jest obrazem ciągłym \(\displaystyle{ X}\).
Każdy okrąg jest domknięty i ograniczony. Stąd każdy okrąg jest zwarty. Ponieważ nasza podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest sumą skończonej liczby zbiorów zwartych, to też jest zwarty.
Bardzo ładnie, ale to tylko jedna wybrana funkcja. Homeomorfizmów \(\displaystyle{ [0,1]\to [0,1]}\) jest nieprzeliczalnie wiele.Calineczka93 pisze: ad.4
Odwzorowaniem homeomorficznym odcinka \(\displaystyle{ [a,b]}\) w \(\displaystyle{ [c,d]}\) jest funkcja postaci \(\displaystyle{ y= \frac{d-c}{b-a} \cdot x+ \frac{bc-ad}{b-a}}\). Funkcja jest ściśle monotoniczna, gdy \(\displaystyle{ x_{0}>x_{1} \Rightarrow f(x_{0})>f(x_{1})}\) lub \(\displaystyle{ x_{0}<x_{1} \Rightarrow f(x_{0})<f(x_{1})}\).
Rozpatrzmy pierwszy przypadek.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}>0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) >0}\)
Podobnie dla drugiego przypadku.
Mamy \(\displaystyle{ x_{0}-x_{1}<0}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x_{0})-f(x_{1})= \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{0} + \frac{bc-ad}{b-a} - \frac{d-c}{b-a} \cdot x_{1} -\frac{bc-ad}{b-a} = \frac{d-c}{b-a} \cdot (x_{0}-x_{1}) <0}\)