Mam daną grupę \(\displaystyle{ G = \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3}}\) i jej podgrupy \(\displaystyle{ H_{1} = \mathbb Z_{3} \times \left\{0 \right\}}\) i \(\displaystyle{ H_{2} = \left\{0 \right\} \times \mathbb Z_{3}}\). Muszę wyznaczyć ilorazy \(\displaystyle{ G/H_{1}}\) i \(\displaystyle{ G/H_{2}}\).
Domyślam się, że powinienem dostać \(\displaystyle{ G/H_{1} \simeq \left\{0 \right\} \times \mathbb Z_{9}}\) i \(\displaystyle{ G/H_{2} \simeq \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3}}\). Konstruuję więc izomorfizmy \(\displaystyle{ f_{1}}\) i \(\displaystyle{ f_{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ ker f_{1} = \mathbb Z_{3} \times \left\{0 \right\}}\) i \(\displaystyle{ im f_{1} = \left\{0 \right\} \times \mathbb Z_{9}}\) oraz \(\displaystyle{ ker f_{2} = \left\{0 \right\} \times \mathbb Z_{3}}\) i \(\displaystyle{ im f_{2} = \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3}}\)
Mój problem przy konstruowaniu tych izomorfizmów polega na tym, że nie za bardzo wiem jak będą wyglądały elementy \(\displaystyle{ G/H_{1}}\) i \(\displaystyle{ G/H_{2}}\). Definicję znam, ale zastanawia mnie modulo ile będę działać po "wymnożeniu" elementów \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H_{1}}\) oraz odpowiednio \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H_{2}}\). Czy w pierwszym przypadku będzie to dalej modulo 3 i modulo 9, czy może jednak modulo 9 i modulo 9? tak samo w \(\displaystyle{ G/H_{2}}\): czy będzie to \(\displaystyle{ ([a]_{3}, _{9})}\) czy może jednak \(\displaystyle{ ([a]_{3}, _{27})}\)? prosiłbym o wytłumaczenie.