Czy podgrupa normalna musi być grupą abelową?

[fart411]

Jak w temacie. Z góry przepraszam, jeśli pytanie jest nad wyraz głupie, ale jestem już skołowany. Wydawałoby się to naturalne, bowiem zachodzi równość warstw, czyli dla każdego \(\displaystyle{ a \in G : aH=Ha}\) ale czy musi zachodzić równość elementów tych warstw? tzn. \(\displaystyle{ ah=ha}\) dla każdego \(\displaystyle{ h \in H}\)? czy może wystarczy, że np. \(\displaystyle{ ah_{1}=h_{2}a}\) i \(\displaystyle{ ah_{2}=h_{1}a}\) ?

[Spektralny]

Weź dowolną grupę nieprzemienną \(\displaystyle{ G}\). Wówczas \(\displaystyle{ G}\) jest podgrupą normalną \(\displaystyle{ G}\).

[fart411]

no tak, najciemniej pod latarnią... w takim razie jak dokończyć takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą, \(\displaystyle{ f: G \in a \rightarrow (a,a) \in G \times G}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f(G)}\) jest normalną w \(\displaystyle{ G \times G}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

Z warunku na normalność doszedłem do wniosku, że dla każdego \(\displaystyle{ (b_{1},b_{2}) \in G \times G}\) i dla każdego \(\displaystyle{ (a,a) \in f(G)}\) mamy \(\displaystyle{ b_{1}ab_{1}^{-1}=b_{2}ab_{2}^{-1}.}\) Niestety nie wiem jak dojść do tego, że G jest abelowa dla dowolnych \(\displaystyle{ b_{1}}\) i \(\displaystyle{ b_{2}}\).

[mol_ksiazkowy]

Niestety nie wiem jak dojść do tego, że G jest abelowa dla dowolnych b_{1} i b_{2}.

hm a np. \(\displaystyle{ b_2 =e}\)

[fart411]

o matko, myślałem nad tym, ale odrzuciłem pomysł, bo pomyślałem, że wtedy będzie to udowodnione tylko dla par postaci \(\displaystyle{ (b_{1}, e)}\) (względnie\(\displaystyle{ (e,b_{1})}\))... a przecież tu już nie interesują mnie pary, a elementy G... to chyba nie jest mój dzień. dziękuję!

[4neta]

Dlaczego możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ b _{2}=e}\)? Przecież \(\displaystyle{ b _{1}}\) i \(\displaystyle{ b _{2}}\) są dowolne.

[leg14]

Są dowolne, więc w szczególności możemy wziąć \(\displaystyle{ b_2 = e}\)

[4neta]

Ale to, że coś działa dla \(\displaystyle{ b _{2}=e}\) nie oznacza, że działa również dla pozostałych \(\displaystyle{ b _{2} \neq e}\).

[leg14]

Tak. Ale zastanów się, co tu chcemy pokazać, przecież nie dowodzimy normalności. Rozumowanie jest takie:
1)Podgrupa jest normalna\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) własność A zachodzi dla wysztskich par \(\displaystyle{ (b_1,b_2}\)
2) Własność A zachodzi dla wszystkich par \(\displaystyle{ (e,b) \Rightarrow}\) G jest abelowa

[4neta]

Właśnie mam olbrzymi problem z podgrupami (normalnymi), dlatego szukam zadań i ich rozwiązań z tego tematu.

Chodzi o tą własność (A)?

dla każdego \(\displaystyle{ (b_{1},b_{2}) \in G \times G}\) i dla każdego \(\displaystyle{ (a,a) \in f(G)}\) mamy \(\displaystyle{ b_{1}ab_{1}^{-1}=b_{2}ab_{2}^{-1}}\)

Własność A zachodzi dla wszystkich par \(\displaystyle{ (e,b) \Rightarrow}\) G jest abelowa

Jak podstawimy za \(\displaystyle{ b_{2}=e}\), to \(\displaystyle{ b_{1}ab_{1}^{-1}=eae^{-1}=a}\) i po obustronnym przemnożeniu z prawej strony przez \(\displaystyle{ b_{1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ b_{1}a=ab_{1}}\), co rzeczywiście pokazuje przemienność. Ale skąd pewność, że ta grupa jest abelowa dla każego \(\displaystyle{ b_{2}}\)?

[leg14]

Ale co to znaczy, że ma być abelowa dla kązdego \(\displaystyle{ b_2}\)?

[4neta]

Rzeczywiście, wykazujemy, że \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa, a skoro jest abelowa dla dowolnego \(\displaystyle{ b_{1}}\), to dla \(\displaystyle{ b_{2}}\) też. Zmyliło mnie to, że wzięliśmy parę \(\displaystyle{ (b_{1},e)}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{2}}\) jest ustalone, a nie dowolne. Chyba już rozumiem. Dziękuję!