baza ortonormalna

[Gogeta]

Dla kazdego z nastepujacych endomorfizmów znalezc baze ortonormalna \(\displaystyle{ \RR^2}\) ze standardowym iloczynem skalarnym, w której ten endomorfizm ma macierz diagonalna.

\(\displaystyle{ (1) \RR^2 \ni (x, y) \rightarrow (9x + 12y, 12x + 16y) \in \RR^2}\)

Móglbym prosic o rozwiazanie? Chodzi mi o to jak mam to zrobic. Byłbym bardzo wdzieczny.

[MlodyPieknyBogaty]

Wypisujesz macierz tego endomorfizmu w bazie standardowej. Liczysz wielomian charakterystyczny macierzy i wartości własne. Akurat tutaj wartości własne są z podprzestrzeni różnych wartości własnych, więc na pewno będą do siebie prostopadłe (na mocy tw. mówiącego, że przestrzenie niezmiennicze odpowiadające różnym wartościom własnym są do siebie prostopadłe). Zatem te dwa wektory tworzą bazę ortogonalną. Aby zrobić z nich bazę ortonormalną dzielimy oba wektory przez ich długość i to koniec.

[Gogeta]

\(\displaystyle{ A =}\) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 9&12 \\ 12&16 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ A - xI = \left[ \begin{array}{cc} 9-x&12 \\ 12&16-x \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P(x)=x(x-25)}\) czyli \(\displaystyle{ x=0 \vee x=25}\)
Dla \(\displaystyle{ x= 0}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 9&12 \\ 12&16 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} x&y \end{array}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ 9x-12y=0 \Rightarrow 3x=4y}\)
\(\displaystyle{ v_1= [3,4]}\)
Dla \(\displaystyle{ x=25}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ v_2= [4,3]}\)

\(\displaystyle{ \left| v_1 \right| = 5}\)
\(\displaystyle{ \left| v_2 \right| = 5}\)

\(\displaystyle{ lin\left( \left[ \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right], \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right] \right)}\)

Dobrze? Czy cos pokopalem?:D

[omicron]

Czy wyznaczone wektory są względem siebie prostopadłe?

[MlodyPieknyBogaty]

Zgubiłaś minusa

[Gogeta]

a jak zrobic to dla formy kwadratowej?
\(\displaystyle{ \RR^2 \ni f(x, y) \rightarrow 9x^2 + 24xy + 16y^2 \in \RR}\)

[robertm19]

Tak samo, macierz formy w bazie standardowej ma postać taką samą jak A.

[Gogeta]

okk dzieki
a w tej formie \(\displaystyle{ \RR^3 \ni (x, y, z) \rightarrow 2x^2 - 8xy - 4xz + 2y^2 - 4yz + 5z^2 \in \RR}\)
macierz bedzie wygladala tak:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 2&-4&-2 \\ -4&2&-2 \\ -2&-2&5 \end{array}\right]}\) ?

[MlodyPieknyBogaty]

Dokładnie tak

[Gogeta]

Jestem zmuszony dalej meczyc was

\(\displaystyle{ P(x)=(x+3)(x-6)^2}\)

Dla x=3
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 5&-4&-2 \\ -4&5&-2 \\ -2&-2&8 \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =0}\)

wektor wlasny wyszedl tutaj \(\displaystyle{ \left[ 2,1,1\right]}\)

no i teraz sie pojawil problem bo \(\displaystyle{ x=6}\) jest wartoscia podwojna i co w takim wypadku powinienem robic? Ten sam problem mam z postacia jordana i tez tam nie wiem jak postepowac :/

[robertm19]

Liczy sie wektory główne 2 rzędu, czyli
\(\displaystyle{ (A-\lambda I)v^2=v^1}\)
\(\displaystyle{ v^2}\) wektor 2 rzędu
\(\displaystyle{ v^1}\) wektor własny( wektor główny rzędu 1).
Oczywiście w przypadku gdy przestrzeń własna ma wymiar 1.

[Gogeta]

dla \(\displaystyle{ x=6}\)
otrzymuje rownanie \(\displaystyle{ 2x+2y+z=0}\)
no i w tym wypadku moge sobie wybrac dowolne liczby spelniajace te rownanie?
np:
\(\displaystyle{ v_2=[1, -\frac{1}{2},0 ]}\) , \(\displaystyle{ v_3=[-1, 0 ,2 ]}\)

Czy musze to jakos inaczej zrobic?

-- 9 cze 2013, o 11:41 --

Moze to bylo glupie pytanie, ale podbijam bo to wazne.