Odejmowanie liczby alef zero od continuum.

[goku94]

Chcielibyśmy, żeby odejmowanie liczb kardynalnych przebiegało tak gładko jak dodawanie, ale jeśli przecież odejmiemy od siebie dwa równoliczne zbiory nieskończone to moc wyniku może się okazać równa zeru. Mam zatem wątpliwości co do wykorzystania takiego odejmowania w dowodzie na nieprzeliczalność zbioru liczb niewymiernych.

Czy jeśli udowodniłem, że zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, to czy mogę od razu wysnuć wniosek, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum? Ułatwiłoby to dowód na to, że zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór liczb wymiernych ma moc continuum.

[Spektralny]

Czy jeśli udowodniłem, że zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, to czy mogę od razu wysnuć wniosek, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum?

Tak, ale nie ma potrzeby robić takich machinacji. Wiemy, że dla nieskończonych liczb kardynalnych \(\displaystyle{ \lambda, \kappa}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \lambda+\kappa = \lambda\cdot \kappa = \max\{\lambda, \kappa\}}\).

Gdyby moc \(\displaystyle{ \kappa}\) zbioru liczb niewymiernych była mniejsza od \(\displaystyle{ \mathfrak{c}=|\mathbb{R}|}\) to

\(\displaystyle{ \mathfrak{c}=|\mathbb{R}|= \aleph_0 + \kappa<\mathfrak{c}}\);

sprzeczność.

[Jan Kraszewski]

Czy jeśli udowodniłem, że zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, to czy mogę od razu wysnuć wniosek, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum?

Tak,

Nie, nie możesz. Nie jest prawdą, że jeśli \(\displaystyle{ A\sim B}\), to \(\displaystyle{ C \setminus A\sim C \setminus B}\).

ale nie ma potrzeby robić takich machinacji. Wiemy, że dla nieskończonych liczb kardynalnych \(\displaystyle{ \lambda, \kappa}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \lambda+\kappa = \lambda\cdot \kappa = \max\{\lambda, \kappa\}}\).

Niekoniecznie wiemy. Aby to udowodnić, musimy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \kappa\cdot\kappa=\kappa}\), a to nie jest standardowa wiedza na "Wstępie do matematyki".

Dowód, że zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum jest bardziej skomplikowany od dowodu, że \(\displaystyle{ |\RR \setminus \NN|=\mathfrak{c}}\) i korzysta z faktu, że \(\displaystyle{ \RR\times\RR\sim\RR}\), który jednak zazwyczaj jest znany.

JK

[Spektralny]

Czy jeśli udowodniłem, że zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, to czy mogę od razu wysnuć wniosek, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum?

Tak,

Nie, nie możesz. Nie jest prawdą, że jeśli \(\displaystyle{ A\sim B}\), to \(\displaystyle{ C \setminus A\sim C \setminus B}\).

Przeczytaj proszę co jest wyżej napisane. Nie oporujemy z dowolnymi zbiorami a tylko ze zbiorem liczb rzeczywistych i pewnym zbiorem przeliczalnym.

ale nie ma potrzeby robić takich machinacji. Wiemy, że dla nieskończonych liczb kardynalnych \(\displaystyle{ \lambda, \kappa}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \lambda+\kappa = \lambda\cdot \kappa = \max\{\lambda, \kappa\}}\).

Niekoniecznie wiemy. Aby to udowodnić, musimy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \kappa\cdot\kappa=\kappa}\), a to nie jest standardowa wiedza na "Wstępie do matematyki".

Ja tam na egzaminie ze wstępu musiałem udowodnić, że \(\displaystyle{ \kappa\cdot \lambda=\max\{\kappa, \lambda\}}\) a w tym \(\displaystyle{ \kappa^2 = \kappa}\). Co jest a czego nie ma na innych uniwersytetach nie wiem.

[Jan Kraszewski]

Przeczytaj proszę co jest wyżej napisane. Nie oporujemy z dowolnymi zbiorami a tylko ze zbiorem liczb rzeczywistych i pewnym zbiorem przeliczalnym.

Dokładnie przeczytałem i podtrzymuję. Dowód, że \(\displaystyle{ \RR\setminus \NN}\) jest mocy continuum nie pozwala "od razu wysnuć wniosku, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum".

Ja tam na egzaminie ze wstępu musiałem udowodnić, że \(\displaystyle{ \kappa\cdot \lambda=\max\{\kappa, \lambda\}}\) a w tym \(\displaystyle{ \kappa^2 = \kappa}\).

Z czystej ciekawości - jak to wtedy dowodziłeś?

Co jest a czego nie ma na innych uniwersytetach nie wiem.

Zapewniam Cię, że wiem, co piszę i rozumiem, jak sądzę, istotę pytania goku94.

JK

[Spektralny]

Przeczytaj proszę co jest wyżej napisane. Nie oporujemy z dowolnymi zbiorami a tylko ze zbiorem liczb rzeczywistych i pewnym zbiorem przeliczalnym.

Dokładnie przeczytałem i podtrzymuję. Dowód, że \(\displaystyle{ \RR\setminus \NN}\) jest mocy continuum nie pozwala "od razu wysnuć wniosku, że continuum pomniejszone o alef zero jest równe continuum".

Okej, niech Ci będzie Ignacy, że nie "od razu".

Z czystej ciekawości - jak to wtedy dowodziłeś?

Wiemy, że \(\displaystyle{ \omega\cdot \omega = \omega}\) (w sensie mnożenia liczb kardynalnych). Używaliśmy już wtedy nieśmiało liczb porządkowych. Jeżeli więc istnieje liczba \(\displaystyle{ \kappa}\) dla której \(\displaystyle{ \kappa\cdot \kappa\neq \kappa}\), to możemy wziąć najmniejszą liczbę o tej własności. Wiemy, że jest nieprzeliczalna, bo \(\displaystyle{ \kappa\neq \omega}\). Z tego wynika całkiem łatwo, że przedziały początkowe porządku leksykograficznego w \(\displaystyle{ \kappa\times \kappa}\) są mocy mniejszej od \(\displaystyle{ \kappa}\). Z tego zaś dostaniemy sprzeczność, bo jednak \(\displaystyle{ \kappa}\) musi być większa od typu porządkowego \(\displaystyle{ \kappa\times \kappa}\).

Słyszałem jednak, że studia zamawiane całkowicie wyrugowały tego typu treści.

[Jan Kraszewski]

Słyszałem jednak, że studia zamawiane całkowicie wyrugowały tego typu treści.

Jak dla mnie to nie studia zamawiane. Prowadzę trudniejszy wykład ze wstępu na UWr od 13 lat i takie treści się na nim nie pojawiały się nigdy z tej prostej przyczyny, że nie bawi mnie prowadzenie wykładu, który jest w stanie zrozumieć kilka osób na sali. Bardziej zaawansowane treści z teorii mnogości (a do takich zaliczyłbym Twój wywód) pojawiają się u mnie na drugim semestrze na wykładzie do wyboru, który wybierają osoby, będące w stanie ten materiał zrozumieć - tam już mogę trochę "poszaleć". Nie sądzę, by możliwości przeciętnego studenta pierwszego roku istotnie odbiegały od możliwości moich studentów i dlatego uważam, że na "Wstępie do matematyki" Twoje (bardzo dobre zresztą) rozumowanie nie przejdzie.

JK

[Dasio11]

Z tego wynika całkiem łatwo, że przedziały początkowe porządku leksykograficznego w \(\displaystyle{ \kappa\times \kappa}\) są mocy mniejszej od \(\displaystyle{ \kappa}\).

A mogę zapytać o szczegóły tego łatwego wynikania?

[Spektralny]

Użyj tego, że \(\displaystyle{ \kappa}\) jest początkową liczbą porządkową oraz tego, że dla każdej mniejszej liczby \(\displaystyle{ \lambda<\kappa}\) mamy \(\displaystyle{ \lambda\cdot \lambda = \lambda}\).

[Jan Kraszewski]

Jesteś pewny, że chodzi Ci o porządek leksykograficzny?

JK

[Spektralny]

leksykograficzno-maksymalny