Funkcje ograniczone

[gosia19]

Zbadać, czy podane funkcje są ograniczone na wskazanych zbiorach:

a) \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\tg x, \quad x\in\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)}\)

b) \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{x^2+1}{x+1}, \quad x\in\left\langle 0,\infty \right)}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \tg x}\) jest w tym przedziale nieograniczony, jednak jak to uzasadnić.
Zaczęłam tak: przypuśćmy, że dowolna liczba \(\displaystyle{ M>0}\), ogranicza zbiór wartości z góry, wtedy
\(\displaystyle{ \tg x\le M}\)... I co dalej? W tym samym miejscu mam problem z podpunktem b.

Narodził się pomysł, żeby wykorzystać tutaj ekstrema.

a) \(\displaystyle{ f' \left( x \right) =\frac{1}{\cos^2x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2x}=0}\) \(\displaystyle{ \implies}\) równanie sprzeczne \(\displaystyle{ \implies}\) brak wartości ekstremalnych \(\displaystyle{ \implies}\) funkcja nie jest ograniczona.

b) Funkcja na podanym przedziale przyjmuje tylko wartość minimalną \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}-2}\) dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}-1}\), więc jest ograniczona z dołu, ale nie jest z góry.

Proszę o wytknięcie błędów

[Chromosom]

1. Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x>\arctan M}\), aby otrzymać sprzeczność.
2. Wystarczy obliczyć granicę przy \(\displaystyle{ x\to\infty}\). Funkcja nie jest ograniczona z góry.

[gosia19]

Dziękuję, za odpowiedź.
Czyli mam rozumieć, że mój sposób jest dobry, ale przekombinowany?

[Chromosom]

Zgadza się.

[gosia19]

A dlaczego \(\displaystyle{ x>\arctan M}\) jest sprzeczne?

Dla \(\displaystyle{ M>0 \implies \arctan M \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \subset \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)}\).

Czy coś już mieszam?

Swoja droga, myślałam nad tym arcusem tangensem na początku. Jednak nie byłam pewna czy przy nierówności można go sobie tak po prostu nałożyć. Postanowiłam wpisać to w wolfram i jakieś farfocle mi wyszły, więc z niego zrezygnowałam.

[Dilectus]

a)
Gosiu, wystarczy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ y=\tg(x)}\) jest rosnąca w całej dziedzinie i policzyć granice (jednostronne) na krańcach interesującego nas przedziału...

b)
dobrze.

[gosia19]

Chyba już doszłam o co chodzi.
Arcusa tangensa możemy nałożyć, bo mamy podany przedział, a ta nierówność jest sprzeczna, bo wychodzi właśnie \(\displaystyle{ \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)}\) a nie \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)}\).

Tak?

[Marcinek665]

Chcemy pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ M}\) znajdziemy taki argument \(\displaystyle{ N}\), że \(\displaystyle{ \tg N > M}\). Takim \(\displaystyle{ N}\) jest \(\displaystyle{ N > \arctg M}\), bo \(\displaystyle{ \tg N > \tg \arctg M = M}\).

\(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{x+1} = \frac{x^2-1 + 2}{x+1} = x+1 + \frac{1}{x+1}}\). Funkcja \(\displaystyle{ x+1}\) jest nieograniczona, a \(\displaystyle{ \frac{1}{x+1}}\) zbiega do zera przy bardzo dużym \(\displaystyle{ x}\). Zatem funkcja wyjściowa również jest nieograniczona.