Chciałbym się dowiedzieć, czy dobrze to rozumiem. W razie błędu proszę o poprawienie
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(t)}\). Wyliczyć jej transformatę \(\displaystyle{ F(s)}\)
1) \(\displaystyle{ f(t)=\sin^{2}at}\), \(\displaystyle{ F(s)=\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right)^{2}}\)
2) \(\displaystyle{ f(t)=\sin at \cos bt}\), \(\displaystyle{ F(s)=\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right)\left(\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\right)}\)
Transformata Laplace'a
-
KowalskiMateusz
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 5 razy
Transformata Laplace'a
Pomyliłeś się
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{ f(t)*g(t) \} = \mathcal{L} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(t) \}=F(s) \cdot G(s)}\)
W drugą stronę to nie zachodzi.
Natomiast w podanych przykładach możemy sobie poradzić w taki sposób.
1)
\(\displaystyle{ f(t) = \sin ^2 at = \frac{1-\cos 2at}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2at}\)
\(\displaystyle{ F(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s}-\frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s^2+4a^2}}\)
2)
korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\alpha+\beta}{2}=at\\\frac{\alpha-\beta}{2}=bt\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = (a+b)t}\)
\(\displaystyle{ \beta = (a-b)t}\)
\(\displaystyle{ f(t) =\sin at \cos bt = \frac{1}{2}(\sin (a+b)t +\sin(a-b)t)}\)
\(\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{2} \left( \frac{a+b}{s^2+(a+b)^2}+\frac{a-b}{s^2+(a-b)^2} \right)}\)
Splot jest w dziedzinie czasu zgodnie z tw. Borel'a mamy:\(\displaystyle{ \mathal{L}\left( f_1(t)f_2(t) \right) = \frac{1}{2 \pi j} F_1(s) * F_2(s)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{ f(t)*g(t) \} = \mathcal{L} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(t) \}=F(s) \cdot G(s)}\)
W drugą stronę to nie zachodzi.
Natomiast w podanych przykładach możemy sobie poradzić w taki sposób.
1)
\(\displaystyle{ f(t) = \sin ^2 at = \frac{1-\cos 2at}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2at}\)
\(\displaystyle{ F(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s}-\frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s^2+4a^2}}\)
2)
korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\alpha+\beta}{2}=at\\\frac{\alpha-\beta}{2}=bt\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = (a+b)t}\)
\(\displaystyle{ \beta = (a-b)t}\)
\(\displaystyle{ f(t) =\sin at \cos bt = \frac{1}{2}(\sin (a+b)t +\sin(a-b)t)}\)
\(\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{2} \left( \frac{a+b}{s^2+(a+b)^2}+\frac{a-b}{s^2+(a-b)^2} \right)}\)