Równanie różniczkowe I rzędu

Marekzt · Post autor: **Marekzt** » 22 sie 2009, o 22:51

Witam , mam problem z tym równaniem . Z góry dziękuję

$\displaystyle{ y'= \frac{y}{x+ \sqrt{xy} }}$

luka52 · Post autor: **luka52** » 22 sie 2009, o 22:59

Zapisz to jako: $\displaystyle{ y' = \frac{ \frac{y}{x} } {1 + \sqrt{ \frac{y}{x} }}}$ i podstaw $\displaystyle{ u = \tfrac{y}{x}}$.

Marekzt · Post autor: **Marekzt** » 22 sie 2009, o 23:34

po lewej stronie podstawić $\displaystyle{ y'=u'x+u}$??
Nie wiem jak wyliczyć te równanie gdy mam w mianowniku pierwiastek u.

Ok na przyszłość będę się starał lepiej precyzować temat.

luka52 · Post autor: **luka52** » 22 sie 2009, o 23:44

Tak, po lewej tyle będzie.
Problem z całką? No więc zapiszmy to równanie:

$\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} x \; \frac{\mbox d u}{\mbox d x} & = & \frac{u - 1 - \sqrt{u}}{1 + \sqrt{u}} \\
\int \frac{1 + \sqrt{u}}{u - 1 - \sqrt{u}} \; \mbox d u & = & \int \frac{\mbox d x}{x} \end{eqnarray*}}$

Podstawiając $\displaystyle{ p^2 = u}$ otrzymamy zwykłą całkę funkcji wymiernej po lewej:

$\displaystyle{ 2 \int \frac{1 + p}{p^2 - 1 - p} \, \cdot p \; \mbox d p}$ z tym sobie poradzisz już?

Marekzt · Post autor: **Marekzt** » 22 sie 2009, o 23:46

już sobie poradzę , wielkie dzięki jesteś wielki:)