[Planimetria] Kolejne kółeczko z jednokładności

[Ponewor]

1. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). W kąty o wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wpisać dwa przystające, styczne zewnętrznie okręgi.

2. Przekątne trapezu przecinają się w punnkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste zawierające ramiona tego trapezu przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ P Q}\) przechodzi przez środki podstaw trapezu.

3. Okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są wpisane w kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest styczny zewnętrznie do okręgów w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ A, \ P, \ Q}\) są współliniowe.

4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ K, \ L, \ M}\). Odcinki \(\displaystyle{ KP, \ LQ, \ MR}\) są wysokościami w trójkącie \(\displaystyle{ KLM}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP, \ BQ, \ CR}\) przecinają się w jednym punkcie.

5. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz niech \(\displaystyle{ L}\) będzie odbiciem symetrycznym \(\displaystyle{ K}\) względem \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ IM}\) i \(\displaystyle{ AL}\) są równoległe.

6. Rozłączne zewnętrznie okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\), która nie rozdziela okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\), jest do nich styczna w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio. Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ BQ}\) przecinają się na okręgu \(\displaystyle{ o}\).

7. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) leżące na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Kwadrat \(\displaystyle{ KLMN}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\), co kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AM}\), \(\displaystyle{ DL}\) i \(\displaystyle{ BN}\) przecinają się w jednym punkcie.

[bakala12]

Zadanie 2:    

Poprowadźmy prostą równoległą do podstaw trapezu i przechodzącą przez punkt P. Niech przecina ona ramiona trapezu AD i BC odpowiednio w punktach E i F. Łatwo widać że trójkąty DEP i ABD oraz PFC i ABC są podobne i skale podobieństwa są równe ( stosunek wysokości). Stąd wnosimy, że EP=PF. Dalej prosto z jednokładności dokończyć.

[Burii]

Drugie zadanie można bardzo prosto zrobić wykorzystując własności dwustosunku.

[Msciwoj]

7.:    

Ponieważ jak wynika z treści zadania i własności kwadratu \(\displaystyle{ AD || LM}\), to istnieje jednokładność o skali ujemnej przekształcająca jeden z tych odcinków na drugi. Jej środek znajduje się w punkcie wspólnym odcinków \(\displaystyle{ AM}\) i \(\displaystyle{ DL}\). Ponieważ każde dwa kwadraty są podobne, a jednokładność jest podobieństwem, to ta konkretna jednokładność przekształca cały kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) na ten drugi. Co oznacza, że środek jednokładności leży na odcinku \(\displaystyle{ BN}\).

[Burii]

Siódme zadanie można bardzo prosto zrobić wykorzystując własności dwustosunku.

[Msciwoj]

3.:    

Bierzemy jednokładność o skali ujemnej i środku \(\displaystyle{ P}\) przekształcającą okrąg \(\displaystyle{ o}\) na \(\displaystyle{ o_{1}}\) i składamy ją z jednokładnością o skali ujemnej i środku \(\displaystyle{ Q}\) przekształcającą okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) na \(\displaystyle{ o}\). Otrzymana jednokładność ma skalę dodatnią i przekształca okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) na \(\displaystyle{ o_{1}}\), więc ma środek w \(\displaystyle{ A}\). Co na mocy twierdzenia o składaniu jednokładności oznacza, że punkty \(\displaystyle{ P, Q, A}\) leżą na jednej prostej.

4.:    

\(\displaystyle{ \angle {CLK} = \angle {LMK}}\) - kąt dopisany i wpisany oparty na łuku \(\displaystyle{ LK}\) okręgu wpisanego w trójkąt.
Na czworokącie \(\displaystyle{ MPRK}\) można opisać okrąg o środku w środku odcinka \(\displaystyle{ MK}\), więc \(\displaystyle{ \angle {LMK} = \angle{PRL}}\). Stąd \(\displaystyle{ AC || PR}\). Analogicznie \(\displaystyle{ AB ||PQ}\), \(\displaystyle{ BC || QR}\). Oznacza to, że istnieje jednokładność o skali dodatniej przekształcająca trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) na trójkąt \(\displaystyle{ PQR}\). Ma ona gdzieś środek, który musi leżeć na trzech odcinkach: \(\displaystyle{ AP, BQ}\) oraz \(\displaystyle{ CR}\)

5.:    

Ponieważ \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ BC}\), to oczywiście \(\displaystyle{ KB = LC}\). Weźmy okrąg \(\displaystyle{ o_{A}}\) dopisany do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) w kącie o wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Ten okrąg jest styczny do odcinka \(\displaystyle{ BC}\) w jakimś punkcie \(\displaystyle{ D}\). Na mocy znanego lematu wynikającego z najmocniejszego twierdzenia geometrii mamy \(\displaystyle{ KB = DC}\). Stąd i z powyższego \(\displaystyle{ L=D}\).
Weźmy teraz jednokładność o środku \(\displaystyle{ A}\) i skali dodatniej, która przekształca \(\displaystyle{ o_{A}}\) na \(\displaystyle{ o}\). Prosta \(\displaystyle{ BC}\) przejdzie w niej na prostą \(\displaystyle{ k}\), gdzie \(\displaystyle{ k||BC}\). \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do \(\displaystyle{ o}\) w jakimś punkcie \(\displaystyle{ E}\). Jest on oczywiście obrazem punktu \(\displaystyle{ L}\) w tej jednokładności, czyli punkty \(\displaystyle{ A, E, L}\) są współliniowe. Ponieważ \(\displaystyle{ k||BC}\), a punkty \(\displaystyle{ K}\) oraz \(\displaystyle{ E}\) są odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego z prostymi \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ k}\), to odcinek \(\displaystyle{ KE}\) jest średnicą okręgu \(\displaystyle{ o}\). Można to pokazać na kątach biorąc odcinek prostopadły do obu prostych przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ I}\). Stąd \(\displaystyle{ KE = 2KI}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ KL = 2KM}\) i twierdzeniem Talesa daje nam \(\displaystyle{ IM || EL}\) czyli również \(\displaystyle{ IM ||AL}\). Co kończy dowód.

6.:    

Niech prosta \(\displaystyle{ m}\) będzie styczna do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ m || k}\), przy czym \(\displaystyle{ m}\) jet styczna do \(\displaystyle{ o}\) z przeciwnej strony niż \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\). Rozważmy jednokładność o skali ujemnej przekształcającą \(\displaystyle{ o_{1}}\) na \(\displaystyle{ o}\). Ma ona środek w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Ponieważ jednokładność zachowuje kierunek i styczność, a \(\displaystyle{ m}\) jest odpowiednio położona, to \(\displaystyle{ k}\) musi przejść na \(\displaystyle{ m}\) w tej jednokładności. Wobec tego punkt \(\displaystyle{ A}\) przechodzi na \(\displaystyle{ C}\) w tej jednokładności. Stąd punkty \(\displaystyle{ A,P}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są współliniowe. Analogicznie punkty \(\displaystyle{ B,Q}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są współliniowe. Oznacza to, że proste \(\displaystyle{ AP}\) oraz \(\displaystyle{ BQ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Leży on oczywiście na okręgu \(\displaystyle{ o}\), co kończy dowód.

[Ponewor]

Jak się bardzo prosto robi zadanie siódme z własności dwustosunku?