Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwsz

[MalaMi717]

Mam problem z takim zadaniem nie wiem gdzie robię błąd
\(\displaystyle{ x^{2}y''-(y')^{2}=0}\)
1) Podstawiam za
\(\displaystyle{ y''=u'}\)
\(\displaystyle{ y'=u}\)
Następnie wychodzi mi:
\(\displaystyle{ u_{j}= \frac{x}{1+C_{1}x}}\)
2) Potem uzmienniam stałe:
\(\displaystyle{ u_{*}= \frac{x}{1+C(x)_{1}x}}\)
Liczę pochodną:
\(\displaystyle{ u_{*'}= \frac{1-x^{2}C(x)'_{1}}{(1+C(x)_{1}x)^{2}}}\)
3) Podstawiam do początkowego równania \(\displaystyle{ x^{2}u'-(u)^{2}=0}\) za \(\displaystyle{ u'=u_{*'}}\) \(\displaystyle{ u=u_{*}}\) i wychodzi mi że \(\displaystyle{ C_{1}= 0}\) zatem \(\displaystyle{ u_{*}= x}}\)
4)\(\displaystyle{ u=u_{j}+u_{*}}\) dalej \(\displaystyle{ y'=u_{j}+u_{*}}\) i y czyli liczę całkę po dx która wychodzi mi że jest równa \(\displaystyle{ y=(\frac{1}{2}x^2)+(\frac{1}{C_{1}}(x-\frac{1}{C_{1}}ln(C_{1}+1))+C_{2}}\) a w odpowiedziach jest (wolfram również podaję wynik z odpowiedzi):\(\displaystyle{ y=\frac{1}{C_{1}}(x-\frac{1}{C_{1}}ln(C_{1}+1))+C_{2}}\)

[Rumek]

A po co uzmienniasz stałe? Skoro po podstawieniu dostajesz równanie o rozdzielonych zmiennych \(\displaystyle{ x^2u' - u^2 = 0}\) więc \(\displaystyle{ \int\frac{du}{u^2} = \int\frac{dx}{x^2}}\) . Czyli \(\displaystyle{ u(x) = \frac{x}{1 + C_{1}x}}\) i wracając z podstawienia \(\displaystyle{ y(x) = \int\frac{x}{1 + C_{1}x}dx}\) .