Zbadaj czy szereg jest zbieżny

[myszka9]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} =
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n}}} \le
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{(n^2+\sqrt{n})(n^2-\sqrt{n})^\frac{1}{2}} =
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^4-n} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} < \infty}\)

zbieżny.

Ok? Możecie popatrzeć na przekształcenia?

[MlodyPieknyBogaty]

To pierwsze oszacowanie jest złe, nierówność jest zdecydowanie w drugą stronę, znajdź inne, tylko takie, żeby było prawdziwe.

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n}}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{\sqrt{n^2+\sqrt{n}}}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{\sqrt{n^2}}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2}}\)

Jest to szereg Dirichleta, którego \(\displaystyle{ \alpha=2 \Rightarrow \alpha>1}\) więc szereg ten jest zbieżny.