ciąg zbieżny

Czeczot · Post autor: **Czeczot** » 23 maja 2013, o 18:41

Proszę o pomoc w wykazaniu, że w każdym ciągu zbieżnym istnieje wyraz największy lub najmniejszy. Intuicyjnie mogę sobie to wyobrazić, ale nie wiem jak sformalizować dowód.

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 23 maja 2013, o 18:50

Spróbuj tak:
\(\displaystyle{ \hbox{Jeśli ciąg } a_{n} \hbox{ zbieżny i rosnący} \Rightarrow \exists_{M} \forall_{n} \ n \le M}\)
Dalej ulep coś sam:)

Czeczot · Post autor: **Czeczot** » 23 maja 2013, o 18:53

No ten ciąg jest ograniczony czyli istnieją kresy zbioru jego wyrazów - problem w tym, że nie wiem jak pokazać, że kresy należą do tego zbioru.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 maja 2013, o 19:38

Jeśli ciąg jest rosnący, to \(\displaystyle{ a_0}\) jest jego kresem dolny. Jeśli jest malejący, to \(\displaystyle{ a_0}\) jest jego kresem górnym.

Jeśli nie jest monotoniczny, to prawie wszystkie elementy tego ciągu leżą w małym przedziale. Pozostałe natomiast tworzą skończony zbiór, który to posiada element największy i najmniejszy w tym zbiorze.

Frmen · Post autor: **Frmen** » 23 maja 2013, o 19:57

Ja bym skorzystał z tego że w zbiorze linowo uporządkowanym skończonym zawsze istnieje element najmniejszy i największy a potem z definicji ciągu zbieżnego.

Czeczot · Post autor: **Czeczot** » 23 maja 2013, o 19:58

ale skąd wiadomo, że jakiś z elementów największy czy najmniejszy ze skończonego zbioru wyrazów ciągu niemonotonicznego jest odpowiednio najmniejszy bądź największy w całym ciągu? jak to pokazać?-- 25 maja 2013, o 14:35 --dobra, mniej więcej jarzę o co chodzi, spróbuję to jakoś zapisać