Zbieżność szeregów

[hank]

Witam. Mam problem, ze zbadaniem zbieżności paru szeregów. Bardzo prosiłbym o pomoc.

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{\ln n}{n ^{2} } \right)^{2}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{\left[ \ln n \right] } }{n ^{2}-\ln n }}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2} n}{n}}\)

[rafalpw]

1. Warunek konieczny
2. Zbieżność bezwzględna, kryterium porównawcze

[tometomek91]

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{\left[ \ln n \right] } }{n ^{2}-\ln n } \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 1 }{n ^{2}-\ln n } \le \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1 }{n ^{2}- n }=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{ 1 }{n (n- 1) }=\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)=1}\)

[hank]

1. Warunek konieczny

A czy nie jest przypadkiem tak, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (1 - \frac{\ln n}{n^2})^{n^2} =\lim_{ n\to \infty } e^{-\ln n} =\lim_{ n\to \infty } e^{\ln \frac{1}{n} } =\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} = 0 ?}\)

[rafalpw]

A czy w przykładzie nie jest przypadkiem: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{\ln n}{n ^{2} } \right)^{2}}\) ?

[JakimPL]

Już pierwsze przejście jest nieprawdziwe. Granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

[rafalpw]

Granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

To też nie jest prawda.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{\ln n}{n^2} \right)^{n^2}= \lim_{n \to \infty }e^{n^2\left( \ln\left( 1+ \frac{\ln n}{n^2} \right) \right) }}\) a to po żmudnych przekształceniach wynosi \(\displaystyle{ + \infty}\)

[JakimPL]

To jest inny ciąg, stąd może te nieporozumienia.

[tometomek91]

3. \(\displaystyle{ \frac{ \cos^2 n}{n}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{n}+\frac{\cos 2n}{n} \right)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2n}{n}}\) jest zbiezny z kryterium Dirichleta, to gdyby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2} n}{n}}\) był zbieżny, to musiałby być zniezny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}\) a tak nie jest.