istnienie pierwiastka

[Czeczot]

Jak można wykazać istnienie pierwiastka dowolnego stopnia z liczby dodatniej nie odwołując się do granic? Chciałbym to pokazać, ale nie wiem jak. A może ktoś wie gdzie znajdę taki dowód? Proszę o pomoc

[bartek118]

Wynika to z tego, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f(x) = x^n}\) jest bijekcją (jest ściśle rosnące). Zatem pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia (zdefiniowany jako odwzorowanie odwrotne do \(\displaystyle{ f}\)) jest określone poprawnie dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in (0, \infty )}\).

[Althorion]

bartek118: to że jest ściśle rosnące nam nie wystarczy do bijektywności (arcus tangens też jest ściśle rosnący, a nie jest bijekcją), potrzebujesz jeszcze właśnie tego, że dąży do nieskończoności — czyli właśnie granicy.

[yorgin]

Może wystarczy rozważyć przekroje Dedekinda, dzięki którym konstruuje się liczby rzeczywiste?

[Czeczot]

chodzi o to z tymi przekrojami, że jak podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na dwa niepuste zbiory dające w sumie ten zbiór, to albo w jednym jest liczba najmniejsza albo w drugim największa?

[yorgin]

Tak.

[Czeczot]

może być, a mógłbyś coś więcej podpowiedzieć jak zacząć ten dowód?

[bartek118]

Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

[yorgin]

1. Dla liczb rzeczywistych prawdziwe jest:

Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

2. Oznaczmy \(\displaystyle{ \QQ^+}\) - liczby wymierne dodatnie. Chcemy skonstruować \(\displaystyle{ p:=\sqrt[n]{q}}\)

Definiujemy dwa zbiory

\(\displaystyle{ A=\{a\in \QQ^+: a<p\}\\
B=\{a\in \QQ^+: p<b\}}\)

Z uwagi 1. zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma kres górny. To jest szukany pierwiastek.

[Althorion]

Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?

[bartek118]

Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?

\(\displaystyle{ \forall_{x_0 \in D_f} \ \forall_{\varepsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \in B(x_0, \delta)} \ f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon)}\)

[Czeczot]

yorgin a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, bo np. \(\displaystyle{ \lfloor p \rfloor-1}\) tam należy i wystarczy pokazać z definicji, że \(\displaystyle{ p}\) to kres, tak?

bartek118, ale skąd wiesz, że funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\) jest pierwiastek jak w zadaniu trzeba udowodnić jego istnienie? pewnie źle rozumuję, ale czy to nie jest trochę wtórne?

[yorgin]

Czeczot, skąd masz pewność, że Twoja liczba tam leży? Co, jeśli \(\displaystyle{ \lfloor p \rfloor=0}\) ?

Przy okazji, na wiki jest trochę o tej konstrukcji

[Czeczot]

fakt, a jak pokazać że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty?

[yorgin]

Z gęstości - dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ p}\) potrafisz znaleźć liczbę wymierną \(\displaystyle{ a}\) taką, że \(\displaystyle{ 0<a<p}\).