[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

[jakub_jabulko]

o właśnie, gorąco polecam te zadanka z dwustosunku i biegunowych. a przy okazji śmieszny fakcik: jeśli dla danego trójkąta ABC proste AK, BL, CM przecinają się w punkcie P (K,L,M leżą na bokach) oraz proste AP i LM przecinają się w Q, to czwórka APQK jest harmoniczna.

[timon92]

Skonstruuj przy pomocy cyrkla, linijki na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) danego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) odpowiednio punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\), takie że \(\displaystyle{ BM=MN=NC}\)

Ukryta treść:    

prawdopodobnie będzie to długa konstrukcja

da się obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ MN=x}\): rzutujemy \(\displaystyle{ B,C,M,N}\) na dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\), rzuty oznaczmy tą samą literą z primem, niech \(\displaystyle{ MN}\) przecina dwusieczną \(\displaystyle{ BAC}\) w \(\displaystyle{ P}\), oraz \(\displaystyle{ \angle APM=\xi}\)

dostanie się trzy równości:
\(\displaystyle{ M'N'=B'C' \iff \frac{x}{\cos \xi} = \frac{b-c}{\cos \frac \alpha 2}, \\
\frac{MX}{\sin \frac \alpha 2} = \frac{c-x}{\sin \xi}, \\
\frac{MX}{x}=\frac{c-x}{b+c-2x},}\)
z których da się wszystko policzyć i wyłowić konstrukcję

nowe: \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AM}\) przecina \(\displaystyle{ AB, AC}\) w \(\displaystyle{ X,Y}\). Styczne do tego okręgu w \(\displaystyle{ X,Y}\) przecinają się w \(\displaystyle{ Z}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ ZM \perp BC}\)

[jakub_jabulko]

szczerze mówiąc nie chce mi się na razie sprawdzać twojego rozwiązania, więc wstawiam tylko swoje, a twoje sprawdzę później.

Ukryta treść:    

Oznaczmy punkt przecięcia z okręgiem prostopadłej do \(\displaystyle{ CB}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ M}\) jako \(\displaystyle{ K}\). Z podstawowych własności symedian wynika, że teza jest równoważna temu, iż \(\displaystyle{ KM}\) jest symedianą w trójkącie \(\displaystyle{ XYM}\). Oznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ XY}\) przez \(\displaystyle{ P}\). Niech prosta \(\displaystyle{ MP}\) przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ N}\). Oczywiście punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ M}\) leżą na różnych łukach \(\displaystyle{ XY}\). Czyli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ N}\) leżą na jednym łuku \(\displaystyle{ XY}\), a stąd \(\displaystyle{ XNY}\) = \(\displaystyle{ XAY}\). Z równości pól mamy \(\displaystyle{ \frac{MX}{MY}= \frac{AC}{AB}}\), a ze środkowej \(\displaystyle{ MN}\) \(\displaystyle{ \frac{MX}{MY}= \frac{AY}{AX}}\). Stąd trójkąty \(\displaystyle{ XNY}\) i \(\displaystyle{ BAC}\) są podobne i zachodzi równość kątów: \(\displaystyle{ NXY = ABC = KMX = NMY}\). A stąd teza, bo \(\displaystyle{ MK}\) jest symedianą w \(\displaystyle{ MXY}\).

Fajne te zadania, skąd je bierzesz??-- 19 maja 2013, o 17:46 --Aha, no i jeszcze zadanko ode mnie:
W trójkącie poprowadzono trójsieczne (zdefiniowane analogicznie do dwusiecznych). Przecinają się każde dwie kolejne (tzn jeśli A i B są wierzchołkami tego trójkąta oznaczonymi zgodnie ze wskazówkami zegara, to "lewa" trójsieczna A przecina "prawą" trójsieczną B itd.). Mamy więc trzy punkty przecięcia. Wykazać, że tworzą one trójkąt równoboczny.

[Ponewor]

Twierdzenie Morleya baaaardzo znane.

EDIT
dowód trygonometryczny. Chyba nawet na wiki jest.

[Burii]

Zadanie timona można równie prosto zrobić korzystając z własności dwustosunku.

Nowe zadanie: Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez środki przekątnych czworokąta przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \angle APM = \angle BPN}\).

[timon92]

znowu dwustosunek:    

oznaczenia:
\(\displaystyle{ E,F}\) - środki \(\displaystyle{ AC, BD}\)
\(\displaystyle{ G,H \in o}\) przy czym \(\displaystyle{ NG \parallel AC}\) oraz \(\displaystyle{ NH \parallel BD}\)
\(\displaystyle{ I,J,K}\) - przecięcia prostej \(\displaystyle{ PM}\) z \(\displaystyle{ CD, CH, DG}\)

wówczas
\(\displaystyle{ (P, I; J, M) = (CP, CI; CJ, CM) = (CB, CD; CH, CM) = (NB, ND; NH, NM) = (B, D; \infty, F) = -1 = (A, C; \infty, E) = (NA, NC; NG, NM) = (DA, DC; DG, DM) = (DP, DI; DK, DM) = (P, I; K, M)}\)

zatem \(\displaystyle{ J=K}\)

zauważmy też, że \(\displaystyle{ \angle JCP = \angle DCN}\) oraz \(\displaystyle{ \angle JDC = \angle PDN}\) zatem punkty \(\displaystyle{ N,J}\) są izogonalnie sprzężone w trójkącie \(\displaystyle{ PCD}\), zatem \(\displaystyle{ \angle CPJ = \angle NPD}\), czyli teza

nowe: Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) są wysokościami tego trójkąta. Prosta \(\displaystyle{ EF}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Przez \(\displaystyle{ D}\) poprowadzono prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ EF}\), która przecina proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Wykazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ XYP}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\).

[Htorb]

Ukryta treść:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ (P,D;B,C)=-1}\) i \(\displaystyle{ \angle BFC = 90}\) czyli \(\displaystyle{ \angle BFD=\angle PFB=\angle FXD}\), wiec to \(\displaystyle{ DX=DF}\) analogicznie \(\displaystyle{ DE=DY}\). Jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BC}\) to punkty \(\displaystyle{ D,M,E,F}\) leżą na okręgu 9 punktów oraz \(\displaystyle{ \angle CDE=\angle CHE =\angle FHB =\angle FDB}\) gdzie \(\displaystyle{ H}\) to ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wynika z tego, że trójkąty \(\displaystyle{ PFD}\) i \(\displaystyle{ DME}\) są podobne. Implikuje to: \(\displaystyle{ PD \cdot DM=FD \cdot DE=XD \cdot DY}\) co należało dowieść.

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\),punkt \(\displaystyle{ P}\) wewnątrz niego i \(\displaystyle{ o_a,o_b,o_c}\) to odpowiednio okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ BCP}\), \(\displaystyle{ ACP}\), \(\displaystyle{ ABP}\). Proste styczne w punkcje \(\displaystyle{ P}\) odpowiednio do \(\displaystyle{ o_a,o_b,o_c}\) to \(\displaystyle{ l_a,l_b,l_c}\). Przecinają one boki \(\displaystyle{ BC, AC, AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X,Y,Z}\). Wykazać, że punkty \(\displaystyle{ X,Y,Z}\) leżą na jednej prostej.

[Ponewor]

znacznie prościej:    

Faktem z zadania z LO jest \(\displaystyle{ AEF \sim ABC}\), co daje \(\displaystyle{ \angle YCB = \angle ACB = \angle AFE = \angle AXY = \angle BXY}\) co daje cykliczność czwórki \(\displaystyle{ BCXY}\). Zatem \(\displaystyle{ DX \cdot DY = DB \cdot DC}\). Chcemy pokazać teraz, że \(\displaystyle{ DB \cdot DC = DP \cdot DM}\), a to już łatwo po przekształceniach dostać z \(\displaystyle{ \left(P,D;B,C\right)=-1}\). A jak sprawdziłem, to przekształcenia przebiegają jeszcze szybciej z wykorzystaniem lematu Newtona.

Ukryta treść:    

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą \(\displaystyle{ \angle XPB = \angle PCX}\), co w konsekwencji daje \(\displaystyle{ \triangle XBP \sim \triangle XPC}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{BX}{XP}=\frac{BP}{PC}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{PX}{XC}=\frac{BP}{PC}}\). Po przemnożeniu tych równości stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{BX}{XC}=\left(\frac{BP}{PC}\right)^{2}}\). Teza zadania jest konsekwencją twierdzenia Menelausa.

W trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego, zaś punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego. Udowodnić, że środki okręgów \(\displaystyle{ BIC, \ CIA, \ AIB}\) leżą na pewnym okręgu o środku w \(\displaystyle{ O}\).

[Htorb]

Ukryta treść:    

Z lematu o trójliściu jego środek to punkt przecięcia dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) z okręgiem opisanym na nim. Czyli leży na okręgu opisanym na \(\displaystyle{ ABC}\). Analogicznie dla pozostałych trójkątów.

nowe: Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) przecinające się w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Okrąg o środku w punkcje \(\displaystyle{ P}\)tworzy z okręgami \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) czworokat \(\displaystyle{ ABCD}\). Przez \(\displaystyle{ T_1}\) i \(\displaystyle{ T_2}\) oznaczamy punkty przecięcia się prostych zawierających przeciwległe boki tego czworokąta. Udowodnić że proste \(\displaystyle{ T_1T_2}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) są prostopadłe.

[Ponewor]

No tak, właśnie o to chodzi.

Ukryta treść:    

Żeby teza w ogóle działała trzeba brać odpowiedni czworokąt (czasem niewypuły). Ma to wyglądać tak, że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą na jednym okręgu, zaś punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) leżą na drugim.
Niech \(\displaystyle{ T_{3}}\) będzie punktem przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Z twierdzenia o siecznej mamy \(\displaystyle{ \left| AT_{3}\right| \cdot \left| T_{3}C\right|= \left| BT_{3}\right| \cdot \left| T_{3}D\right|}\) (punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) leżą na jednym okręgu). To oznacza, że punkt \(\displaystyle{ T_{3}}\) ma równe potęgi względem okręgów \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\). Co za tym idzie leży na ich osi potęgowej \(\displaystyle{ PQ}\). Natomiast z twierdzenia Brocarda \(\displaystyle{ T_{1}T_{2} \perp PT_{3}=PQ}\).

[diana7]

Ukryta treść:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ PQ}\) jest większe od promienia okręgu \(\displaystyle{ ABCD}\)(w przeciwnym wypadku teza nie musi zachodzić). Niech \(\displaystyle{ D}\) i\(\displaystyle{ B}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ \omega_1}\) oraz \(\displaystyle{ B}\)i \(\displaystyle{ A}\) leżą wewnątrz okręgów odpowiednio \(\displaystyle{ \omega_2,\omega_1}\), \(\displaystyle{ T_1=BC \cap AD}\).
Niech \(\displaystyle{ Q', E, F}\) będą obrazami inwersyjnymi odpowiednio \(\displaystyle{ Q, T_1, T_2}\) względem okręgu \(\displaystyle{ ABCD}\). W tej samej inwersji okręgi \(\displaystyle{ \omega_1}\) i \(\displaystyle{ \omega_2}\) przechodzą na proste \(\displaystyle{ DB}\) i \(\displaystyle{ AC}\), które przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q'}\). Z lematu mamy więc, że \(\displaystyle{ Q'T_1}\) i \(\displaystyle{ Q'T_2}\) są biegunowymi odpowiednio \(\displaystyle{ T_2}\) i \(\displaystyle{ T_1}\) względem okręgu \(\displaystyle{ ABCD}\), zatem \(\displaystyle{ \angle PFQ'=\angle PEQ'= \frac{\pi}{2}}\), więc czworokąt \(\displaystyle{ PFQ'E}\) jest cykliczny, więc ponieważ okrąg \(\displaystyle{ PFE}\) w inwersji względem okręgu \(\displaystyle{ ABCD}\) przechodzi na prostą \(\displaystyle{ T_1T_2}\) to \(\displaystyle{ Q}\) leży na tej prostej. Z własności inwersji czworokąt \(\displaystyle{ QQ'FT_2}\) jest cykliczny, więc ponieważ \(\displaystyle{ Q'}\) leży na prostej \(\displaystyle{ PQ}\),\(\displaystyle{ \angle Q'QT_2=\frac{\pi}{2}}\) c.k.d.

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w którym \(\displaystyle{ \angle BAC=\frac{\pi}{3}}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ \angle ADC=\angle ADB=\frac{2\pi}{3}}\). Symetralna odcinka \(\displaystyle{ AD}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\), prosta \(\displaystyle{ CD}\) przecina tę symetralną w \(\displaystyle{ E}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ PD}\) połowi \(\displaystyle{ EB}\).

[Ponewor]

Tą godzinkę czy dwie na wrzucenie nowego zadania mogłaś mi dać, a nie tak od razu się "wcinasz"

W przeciwnym wypadku teza nie musi zachodzić

musi, po prostu inny czworokąt trzeba wziąć (niewypukły).

[diana7]

Sory, nie zauważyłam, że już ktoś napisał rozwiązanie .

[timon92]

wskazówka:    

pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{BP}{PC} = \frac{BA}{AC} = \frac{ED}{DC}}\)

[Htorb]

Ukryta treść:    

Najpierw lemat:
Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe. Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) to punkty przecięcia odpowiednio prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CB}\) oraz \(\displaystyle{ DB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Jeśli \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) to środki odcinkow \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) , to punkty \(\displaystyle{ M,N,E,F}\) są współliniowe.
Dowód można przeprowadzić z tw. Talesa lub z jednokładności.

Wracając do zadania, oznaczymy przez \(\displaystyle{ F}\) punkt przecięcia symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AD}\) z prostą \(\displaystyle{ BD}\). Przyjmijmy, że punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AD}\). Trójkąty \(\displaystyle{ EDA}\) i \(\displaystyle{ ADF}\) są równoboczne: \(\displaystyle{ \angle EAD=\angle EDA=60}\) i analogicznie dla drugiego trójkąta. Z rachunku katów uwzgledniając, że \(\displaystyle{ \angle BAC=60}\) dostajemy, ze trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) są podobne, czyli: \(\displaystyle{ \frac{BD}{AD}= \frac{AD}{DC} \Rightarrow \frac{ED}{DB}= \frac{DC}{DF}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ EB \parallel FC}\). teraz stosując nasz lemat dostajemy, że prosta \(\displaystyle{ PD}\) przechodzi przez środek \(\displaystyle{ EB}\), czyli tezę.

Nowe: Okrąg \(\displaystyle{ w}\) jest opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Styczne do \(\displaystyle{ w}\) w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają się w \(\displaystyle{ T}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na prostej \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ AS \perp AT}\). Punkty\(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) to punkty przecięcia okręgu o promieniu \(\displaystyle{ TB}\) i środku w punkcje \(\displaystyle{ T}\) z prostą \(\displaystyle{ ST}\). Udowodnić, że trójkąt \(\displaystyle{ AB_1C_1}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).