zadanie
Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1, trajektorie Procesu Wienera są nieograniczone
Będę wdzięczny za pomoc
Trajektorie procesu Wienera
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7336
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Trajektorie procesu Wienera
Rozpatrz przyrosty o stałą jednostkę. Rozpatruj podobnie jak problem o ruinie gracza.
Trajektorie procesu Wienera
Tak, ale kiedy rozpatrzę przyrosty np co \(\displaystyle{ 1}\) chwilę czasową to mam, ze przyrosty \(\displaystyle{ W_{t+1}-W_t}\) maja rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), a więc wtedy z równania prawa ewolucji Procesu Wienera, (upraszczając i zapisując jak dla zmiennych dyskretnych) dostajemy:
\(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a)=P(W_{t+1}=a|W_t=a+n \alpha )P(W_t=a+n \alpha )+...+P(W_{t+a}=a|W_t=a+ \alpha )P(W_t=a+ \alpha )+P(W_{t+1}=a|W_t=a- \alpha )P(W_t=a- \alpha )+...+P(W_{t+1}=a|W_t=a-n \alpha )P(W_t=a-n \alpha )}\),
gdzie \(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a|W_t=a+k \alpha )}\) to przyrost o \(\displaystyle{ -k \alpha}\) (dla \(\displaystyle{ k \alpha}\) dodatniego) tzn \(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a|W_t=a+k \alpha )= P(W_1=-k \alpha )=P(W_1=k \alpha )}\) (jeśli dobrze rozumiem?) gdzie \(\displaystyle{ W_1}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) . Wtedy, wyprowadzając na tej podstawie równanie rekurencyjne ruiny gracza (bo to równanie bierze się chyba z tego prawa ewolucji) Mamy: \(\displaystyle{ r(k)= p_1r(k- \alpha )+...p_nr(k-n \alpha )+p_1r(k+ \alpha )+...+p_nr(k+n \alpha )}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow 0^{+}}\). Przy warunkach \(\displaystyle{ r(0)=1, r(w)=0}\)
Nie wiem czy na pewno dobrze to robię, w każdym razie nie sposób takie równanie rozwiązać, próbowałem za pomocą równania charakterystycznego, ale mamy tu tylko dwa warunki więc raczej nie da rady. To prawo ewolucji o którym mowie jest zawarte tu: ... es_dyfuzji A może można rozpatrzyć przyrosty nieskończenie małe jak we wzorze \(\displaystyle{ f(x, t + \Delta t) = p \cdot f(x - \Delta x, t) + q \cdot f(x + \Delta x, t)}\) na tej stronie i zrobic analogicznie jak w standardowej ruinie gracza wtedy mielibyśmy równanie \(\displaystyle{ r(x)=pr(x-\Delta x)+qr(x+\Delta x)}\)?
Będę bardzo wdzięczny gdyby ktoś mógł pomóc
\(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a)=P(W_{t+1}=a|W_t=a+n \alpha )P(W_t=a+n \alpha )+...+P(W_{t+a}=a|W_t=a+ \alpha )P(W_t=a+ \alpha )+P(W_{t+1}=a|W_t=a- \alpha )P(W_t=a- \alpha )+...+P(W_{t+1}=a|W_t=a-n \alpha )P(W_t=a-n \alpha )}\),
gdzie \(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a|W_t=a+k \alpha )}\) to przyrost o \(\displaystyle{ -k \alpha}\) (dla \(\displaystyle{ k \alpha}\) dodatniego) tzn \(\displaystyle{ P(W_{t+1}=a|W_t=a+k \alpha )= P(W_1=-k \alpha )=P(W_1=k \alpha )}\) (jeśli dobrze rozumiem?) gdzie \(\displaystyle{ W_1}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) . Wtedy, wyprowadzając na tej podstawie równanie rekurencyjne ruiny gracza (bo to równanie bierze się chyba z tego prawa ewolucji) Mamy: \(\displaystyle{ r(k)= p_1r(k- \alpha )+...p_nr(k-n \alpha )+p_1r(k+ \alpha )+...+p_nr(k+n \alpha )}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \rightarrow 0^{+}}\). Przy warunkach \(\displaystyle{ r(0)=1, r(w)=0}\)
Nie wiem czy na pewno dobrze to robię, w każdym razie nie sposób takie równanie rozwiązać, próbowałem za pomocą równania charakterystycznego, ale mamy tu tylko dwa warunki więc raczej nie da rady. To prawo ewolucji o którym mowie jest zawarte tu: ... es_dyfuzji A może można rozpatrzyć przyrosty nieskończenie małe jak we wzorze \(\displaystyle{ f(x, t + \Delta t) = p \cdot f(x - \Delta x, t) + q \cdot f(x + \Delta x, t)}\) na tej stronie i zrobic analogicznie jak w standardowej ruinie gracza wtedy mielibyśmy równanie \(\displaystyle{ r(x)=pr(x-\Delta x)+qr(x+\Delta x)}\)?
Będę bardzo wdzięczny gdyby ktoś mógł pomóc