Jak dokonano całkowania?

[lukasz93a]

Witam, dana jest całka podwójna:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}dx\int_{-\frac{\pi}{2} }^{0}\sin\left( x-2y\right)dy = \int_{0}^{\pi}\left[ \frac{1}{2}\cos\left( x-2y\right) \right] \frac{y=0}{y=- \frac{\pi}{2} } dx}\)

Moje pytanie brzmi, jak dokonano tego przejścia? Tak mam podane w książce, a w swoich rachunkach dokonuje podstawienia
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=x-2y \\ dt=-2dy \\ y(0)=x \\y(- \frac{pi}{2}=x+\pi \end{cases}}\)
i wychodzi to samo, ale jednak trochę czasu potrzeba na zapisanie tych linijek i chciałbym wiedzieć skąd wzięło się to przejście, bo we wzorach nie mogę znaleźć.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \int \sin\left( x-2y\right)\,\mbox{d}y = - \frac{1}{2}\cos\left( x-2y\right)}\)

[yorgin]

Najzwyczaniejsze w świecie całkowanie funkcji

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sin(x-2y)}\)

po zmiennej \(\displaystyle{ y}\).

[lukasz93a]

Dalej nie rozumiem. Gdy obliczam tę całkę to otrzymuje:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \int_{x+\pi}^{x}\sin tdt}\)

Wyżej w przykładzie zostało to rozwiązane na po zmiennej y i dalej nie bardzo wiem jak.

[yorgin]

Brzmi to mniej więcej tak, jakbyś sinusa nie potrafił całkować.

[lukasz93a]

No bo rzeczywiście tak było. Już wiem jak to się robi. Dzięki za pomoc.

Pozdrawiam