Dzień dobry,
Dane jest zadanie:
Niech ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) będzie określony rekurencyjnie wzorem \(\displaystyle{ x_{n+1} = F(x_n)}\), gdzie funkcja F ma ciągłą pochodną. Zakładając, że
\(\displaystyle{ {x_n} \rightarrow x}\) dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) i \(\displaystyle{ F'(x) = 0}\),
wykazać, że
\(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}= o(x_{n+1}-x_n)}\).
Wskazówka: zastosować twierdzenie o wartości średniej.
Znaczenie symbolu o:
Mamy dwa ciągi \(\displaystyle{ {x_n}}\), \(\displaystyle{ {a_n}}\).
\(\displaystyle{ x_n = o(a_n)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{{x_n}}{{a_n}}=0}\)
Mamy skorzystać z twierdzenia o wartości średniej (wersja uogólniona), tylko że ja nie widzę co mam w tym zadaniu całkować. W ogóle ciężko mi wymyślić jakąkolwiek ciąg określony w dany sposób.
Tempo wzrostu ciągu określonego rekurencyjnie
Tempo wzrostu ciągu określonego rekurencyjnie
Mamy więc \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{x_{n+1}-x_n} = \lim_{ n \to \infty } \frac{F(x_{n+1})-F(x_{n})}{x_{n+1}-x_n}}\).
Z twierdzenia Lagrange'a istnieje takie \(\displaystyle{ c \in (x_n;x_{n+1})}\), że \(\displaystyle{ \frac{F(x_{n+1})-F(x_{n})}{x_{n+1}-x_n} = F'(c)}\), przy czym dla \(\displaystyle{ {x_n} \rightarrow \infty}\),\(\displaystyle{ c \rightarrow x}\), to wtedy podana granica wynosi \(\displaystyle{ F'(x) = 0}\)
Tylko pytanie dlaczego ta funkcja w danym momencie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (x_n;x_{n+1})}\) ?
Z twierdzenia Lagrange'a istnieje takie \(\displaystyle{ c \in (x_n;x_{n+1})}\), że \(\displaystyle{ \frac{F(x_{n+1})-F(x_{n})}{x_{n+1}-x_n} = F'(c)}\), przy czym dla \(\displaystyle{ {x_n} \rightarrow \infty}\),\(\displaystyle{ c \rightarrow x}\), to wtedy podana granica wynosi \(\displaystyle{ F'(x) = 0}\)
Tylko pytanie dlaczego ta funkcja w danym momencie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (x_n;x_{n+1})}\) ?
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Tempo wzrostu ciągu określonego rekurencyjnie
Przypuszczam (gdyż nie zostało to napisane), że \(\displaystyle{ F}\) jest określona na jakimś przedziale, oraz ma ciągłą pochodną (co zostało napisane).
Mówienie o ciągłej pochodnej ma sens gdy funkcja jest określona w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x}\) (być może zadanie zakłada mniej, nic nie wiadomo w końcu o \(\displaystyle{ F}\), a ja dobieram założenia naturalne i wygodne jednocześnie). Można to otoczenie oznaczyć \(\displaystyle{ U=(x-\delta,x+\delta)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \delta}\). Ze zbieżności dla \(\displaystyle{ n}\) dostatecznie dużych mamy \(\displaystyle{ |x-x_n|<\delta}\). Czyli dla tych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x_n,x_{n+1})\subset U}\). Czyli ta określoność ma sens.
Mówienie o ciągłej pochodnej ma sens gdy funkcja jest określona w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x}\) (być może zadanie zakłada mniej, nic nie wiadomo w końcu o \(\displaystyle{ F}\), a ja dobieram założenia naturalne i wygodne jednocześnie). Można to otoczenie oznaczyć \(\displaystyle{ U=(x-\delta,x+\delta)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \delta}\). Ze zbieżności dla \(\displaystyle{ n}\) dostatecznie dużych mamy \(\displaystyle{ |x-x_n|<\delta}\). Czyli dla tych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x_n,x_{n+1})\subset U}\). Czyli ta określoność ma sens.