długość łuku jednej gałęzi cykloidy

[karolina150490]

Mam problem z całką. Może ktoś ma pomysł jak to rozwiązać dalej ?
obliczymy długość łuku jednej gałęzi trochoidy daną równaniami
\(\displaystyle{ x=rt - a\sin t, y=r - a\cos t}\) gdzie \(\displaystyle{ a\neq r}\) dla przedziału \(\displaystyle{ t \in \langle 0, 2\pi \rangle .}\)
Pochodne wynoszą
\(\displaystyle{ x'=r - a\cos t, \quad y' = a \sin t,}\)
\(\displaystyle{ L=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{(r - a\cos t)^{2} + (a \sin t)^{2}}dt=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2} - 2ar \cos t + a^{2} \cos ^{2} t + a^{2} \sin ^{2} t} dt =
=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos t } dt =}\)

[janusz47]

W praktyce dokonujemy podstawienia
\(\displaystyle{ a = \lambda r , \lambda =1,}\)
otrzymując z równań parametrycznych trochoidy, czyli cykloidy skróconej lub wydłużonej - równania parametryczne tzw. cykloidy zwyczajnej
\(\displaystyle{ x =r(t - \sin(t)), y = r(1-\cos(t))}\)
i wówczas długość jednej jej gałęzi wynosi
\(\displaystyle{ |L |= \int_{0}^{2\pi}r\sqrt{2 - 2\cos(t)}dt = r \int_{0}^{2\pi} 2\sin\left( \frac{t}{2}\right)dt, 0\leq \frac{t}{2}\leq \pi ,}\)
\(\displaystyle{ |L| = -4r\cos\left(\frac{t}{2}\right)_{0}^{2\pi}= 8r.}\)