sprowadzenie do postaci iloczynowej
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 13 wrz 2011, o 01:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sdgalk
- Podziękował: 11 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
Mam takie zadanie do zrobienia. Sprowadzić do postaci iloczynowej \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}\). Doszedłem do tego:
\(\displaystyle{ 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin ^3 \alpha =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \left( 1 - \cos ^2 \alpha \right) =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos ^2 \alpha =\\= 4 \sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha \left(\sin \alpha \cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha \right)}\)
ale co dalej to nie wiem
\(\displaystyle{ 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin ^3 \alpha =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \left( 1 - \cos ^2 \alpha \right) =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos ^2 \alpha =\\= 4 \sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha \left(\sin \alpha \cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha \right)}\)
ale co dalej to nie wiem
Ostatnio zmieniony 5 maja 2013, o 02:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Łam za długie linie.
Powód: Łam za długie linie.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
Moim zdaniem tak może być, w końcu masz już iloczyn. Ja nawet bym tyle nie przekształcał tylko od razu wyłączył sinusa przed nawias i tyle.
- Msciwoj
- Użytkownik
- Posty: 229
- Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 36 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
Możesz jeszcze wyłączyć \(\displaystyle{ \sin x}\) przed nawias i skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x = \sin 2x}\).
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
Ja mam takie coś:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin (\alpha + 2 \alpha) = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin(2 \cos^2 \alpha - 1) + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha \left( 1+ 2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 + 2 \cos^2 \alpha\right) = \\ = \sin \alpha \left( 4 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \right) = \\ = 2 \sin \alpha \cos \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 = \sin 2 \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin (\alpha + 2 \alpha) = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin(2 \cos^2 \alpha - 1) + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha \left( 1+ 2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 + 2 \cos^2 \alpha\right) = \\ = \sin \alpha \left( 4 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \right) = \\ = 2 \sin \alpha \cos \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 = \sin 2 \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 \right) \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 13 wrz 2011, o 01:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sdgalk
- Podziękował: 11 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
IMO w postaci iloczynowej nie może występować znak +/- pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 13 wrz 2011, o 01:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sdgalk
- Podziękował: 11 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
No ale cały problem w tym, że pozostanie \(\displaystyle{ \cos \alpha + \frac{1}{2}}\)
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
No tak, ale tutaj nie ma znaku plus ani minus pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tylko między funkcją trygonometryczną a liczbą.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 13 wrz 2011, o 01:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sdgalk
- Podziękował: 11 razy
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
No bez przesady, to tylko liczba. Przykładowo spójrz sobie na postać iloczynową np. trójmianu kwadratowego, tam też występują liczby w nawiasach.
- Msciwoj
- Użytkownik
- Posty: 229
- Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 36 razy
sprowadzenie do postaci iloczynowej
Jak nie chcesz mieć tej sumy to możesz jeszcze zrobić tak:
\(\displaystyle{ \cos{x} + \frac{1}{2} = \cos{x} + \cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cos{\frac{3x +\pi}{6}} \cos{\frac{3x - \pi}{6}}}\).
Ale moim zdaniem to już niepotrzebna komplikacja.
\(\displaystyle{ \cos{x} + \frac{1}{2} = \cos{x} + \cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cos{\frac{3x +\pi}{6}} \cos{\frac{3x - \pi}{6}}}\).
Ale moim zdaniem to już niepotrzebna komplikacja.