losowanie kuli

[night_spirit]

W każdej z dwóch urn jest po \(\displaystyle{ 10}\) kul czarnych. Jak ulokować \(\displaystyle{ 20}\) kul białych w tych urnach, aby prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), wylosowania kuli białej przy losowaniu jednej kuli z losowo wybranej urny, było największe?

Proszę o pomoc.

[*Kasia]

x, 20-x - rozkład kul białych
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{{n\choose 1}}{{10+n\choose 1}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{{20-n\choose 1}}{{30-n \choose 1}}}\)
Uprość, oblicz maksimum. (pamiętaj o dziedzinie)

[Promilla]

x, 20-x - rozkład kul białych
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{{n\choose 1}}{{10+n\choose 1}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{{20-n\choose 1}}{{30-n \choose 1}}}\)
Uprość, oblicz maksimum. (pamiętaj o dziedzinie)

Czy da się zrobić to zadanie bez zastosowania pochodnych?

[lesmate]

\(\displaystyle{ x}\) ilość białych kul w pierwszej urnie
\(\displaystyle{ 20-x}\) białe kule w drugiej urnie

z drzewa

\(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{10+x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{10-x}{10+20-x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x(30-x)+(10-x)(10+x)}{(10+x)(30-x)}\right)}\)

ale i tutaj bez pochodnej raczej się nie obejdzie

[Zxzxxcxc]

Może się komuś przyda, na początku umieszczamy w każdej z urn po 10 kul białych i jako x traktujemy "przeniesienie" x kul z jednej do drugiej urny.

\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2} \cdot \frac{10-x}{20-x}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{10+x}{20+x}= \frac{1}{2}\left( \frac{\left( 10+x\right) \cdot \left( 20-x\right)+\left( 10-x\right) \cdot \left( 20+x\right) }{\left( 20+x\right)\left( 20-x\right) } \right)= \frac{1}{2} \cdot \frac{400-2x ^{2} }{400-x ^{2} }= \frac{1}{2}\left( \frac{400-x ^{2}}{400-x ^{2}}- \frac{x ^{2} }{400-x ^{2}} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left( 1- \frac{x ^{2} }{400-x ^{2}} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+1- \frac{400}{400-x ^{2}} \right)= 1- \frac{200}{400-x ^{2} }}\)

[szachimat]

\(\displaystyle{ x}\) ilość białych kul w pierwszej urnie
\(\displaystyle{ 20-x}\) białe kule w drugiej urnie

z drzewa

\(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{10+x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{10-x}{10+20-x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x(30-x)+(10-x)(10+x)}{(10+x)(30-x)}\right)}\)

ale i tutaj bez pochodnej raczej się nie obejdzie

Przecież to to samo co napisała Kasia, tylko pomyliłeś "10" z "20"

[Zxzxxcxc]

Przecież to to samo co napisała Kasia, tylko pomyliłeś "10" z "20"

Wybacz, nie widzę nigdzie pomyłki. Założyłem, że wrzucamy do każdej z urn równą ilość białych (czyli na samym początku w każdej jest 10 białych i 10 czarnych) , a potem sprawdzamy, jak zmieni się prawdopodobieństwo, gdy przełożymy x białych kul z jednej urny do drugiej.
U mnie wychodzi bez pochodnych i całkiem szybko fajnie się skraca, w rozwiązaniu Kasi nie widzę jak to można przekształcić, aby bez pochodnych się obyło. Nie twierdzę, że się nie da : )

Edit
Schrzaniłem znaki w końcówce, teraz wszystko śmiga : )
Nadal jednak nie mogę się doszukać tego błędu z dziesiątką : (

[szachimat]

Jeżeli do pierwszej urny wkładamy "x" białych (wtedy mamy razem "\(\displaystyle{ 10+x}\)"), to do drugiej "20-x" (wtedy mamy razem "\(\displaystyle{ 30-x}\)") - w liczniku drugiego wyrażenia jest inaczej.

[Zxzxxcxc]

Tak byłoby może gdybyśmy nie mieli już włożonych białych.
Ja na początku umieściłem w każdej urnie po 10 kul białych, wtedy gdy do jednej urny wkładałem x białych kul (jest ich wtedy 10+x, wszystkich jest 10+10+x) to z drugiej tyle samo wyjmowałem (białych jest 10-x, wszystkich jest 10+10-x). Powinno być dobrze.

[szachimat]

Zxzxxcxc - moja sugestia była do lesmate (możesz wyżej sprawdzić). Wgoniliśmy się w dyskusję przez nieporozumienie.

[Zxzxxcxc]

Rzeczywiście, przepraszam, nie zauważyłem.