Funkcje mierzalne i ograniczone są gęste w Lp.
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3949
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 931 razy
Funkcje mierzalne i ograniczone są gęste w Lp.
Poniżej \(\displaystyle{ (X,\mu)}\) jest przestrzenią z miarą oraz \(\displaystyle{ p\in [1,\infty)}\).
Obserwacja. Niech \(\displaystyle{ f\colon X\to [0,\infty]}\) będzie funkcją mierzalną. Wówczas istnieje ściśle rosnący ciąg funkcji prostych \(\displaystyle{ (g_n)_{n=1}^\infty}\) na \(\displaystyle{ X}\) zbieżny punktowo do \(\displaystyle{ f}\). Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ograniczoną, to ciąg ten zbiega jednostajnie.
Dowód. Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Dzielimy przedział \(\displaystyle{ [0,2^n]}\) na \(\displaystyle{ 2^{2^n}}\) przedziałów \(\displaystyle{ I_{k,n}\;\;(k\leqslant 2^n)}\) długości \(\displaystyle{ 1/2^n}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ I_{k,n} = (k/2^n,\, (k+1)/2^n]\;\;\;(n\in \mathbb{N}, 0\leqslant k\leqslant n).}\)
Niech \(\displaystyle{ J_n = (2^n, \infty]}\).
Ciąg \(\displaystyle{ (g_n)_{n=1}^\infty}\) określony wzorem
\(\displaystyle{ g_n = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \frac{k}{2^n}\mathbf{1}_{f^{-1}[I_{k,n}]} - 2^n \mathbf{1}_{f^{-1}[J_n]}}\)
ma wszystkie własności wymienione w tezie. \(\displaystyle{ \square}\)
Zauważ, że zbiór ograniczonych funkcji mierzalnych zawiera wszystkie ograniczone funkcje proste. Wystarczy więc pokazać, że zbiór tych funkcji jest gęsty w \(\displaystyle{ L_p}\).
Dowód. Niech \(\displaystyle{ f\in L_p(\mu)}\). Rozkładając \(\displaystyle{ f}\) na
\(\displaystyle{ f = (\mbox{Re} f)^+ - (\mbox{Re} f)^- + \mbox{i}\big((\mbox{Im} f)^+ - (\mbox{Im} f)^-\big)}\)
bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna. Niech \(\displaystyle{ (g_n)}\) będzie rosnącym ciągiem mierzalnych funkcji prostych zbieżnym punktowo do \(\displaystyle{ f}\). Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ 0\leqslant g_n \leqslant f}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona, więc
\(\displaystyle{ |g_n - f|^p \leqslant |f|^p\in L_1(\mu)}\)
Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej:
\(\displaystyle{ \|g_n - f\|^p = \int\limits_\Omega |g_n - f|^p\,\mbox{d}\mu \longrightarrow 0}\).
\(\displaystyle{ \square}\)
Obserwacja. Niech \(\displaystyle{ f\colon X\to [0,\infty]}\) będzie funkcją mierzalną. Wówczas istnieje ściśle rosnący ciąg funkcji prostych \(\displaystyle{ (g_n)_{n=1}^\infty}\) na \(\displaystyle{ X}\) zbieżny punktowo do \(\displaystyle{ f}\). Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ograniczoną, to ciąg ten zbiega jednostajnie.
Dowód. Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Dzielimy przedział \(\displaystyle{ [0,2^n]}\) na \(\displaystyle{ 2^{2^n}}\) przedziałów \(\displaystyle{ I_{k,n}\;\;(k\leqslant 2^n)}\) długości \(\displaystyle{ 1/2^n}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ I_{k,n} = (k/2^n,\, (k+1)/2^n]\;\;\;(n\in \mathbb{N}, 0\leqslant k\leqslant n).}\)
Niech \(\displaystyle{ J_n = (2^n, \infty]}\).
Ciąg \(\displaystyle{ (g_n)_{n=1}^\infty}\) określony wzorem
\(\displaystyle{ g_n = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \frac{k}{2^n}\mathbf{1}_{f^{-1}[I_{k,n}]} - 2^n \mathbf{1}_{f^{-1}[J_n]}}\)
ma wszystkie własności wymienione w tezie. \(\displaystyle{ \square}\)
Zauważ, że zbiór ograniczonych funkcji mierzalnych zawiera wszystkie ograniczone funkcje proste. Wystarczy więc pokazać, że zbiór tych funkcji jest gęsty w \(\displaystyle{ L_p}\).
Dowód. Niech \(\displaystyle{ f\in L_p(\mu)}\). Rozkładając \(\displaystyle{ f}\) na
\(\displaystyle{ f = (\mbox{Re} f)^+ - (\mbox{Re} f)^- + \mbox{i}\big((\mbox{Im} f)^+ - (\mbox{Im} f)^-\big)}\)
bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna. Niech \(\displaystyle{ (g_n)}\) będzie rosnącym ciągiem mierzalnych funkcji prostych zbieżnym punktowo do \(\displaystyle{ f}\). Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ 0\leqslant g_n \leqslant f}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona, więc
\(\displaystyle{ |g_n - f|^p \leqslant |f|^p\in L_1(\mu)}\)
Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej:
\(\displaystyle{ \|g_n - f\|^p = \int\limits_\Omega |g_n - f|^p\,\mbox{d}\mu \longrightarrow 0}\).
\(\displaystyle{ \square}\)
-
Piotr654
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 18:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
Funkcje mierzalne i ograniczone są gęste w Lp.
Hmm..., rozważałem podejście przez funkcje proste, ale to jest pokazanie, że pewien podzbiór funkcji mierzalnych i ograniczonych, zbiór funkcji prostych, jest gęsy w \(\displaystyle{ L_{P}}\) i gdyby w książkach, które czytam, było napisane, że dla każdej funkcji z \(\displaystyle{ L_{P}}\) możemy wybrać funkcję mierzalną i ograniczoną taką, że \(\displaystyle{ \|g - f\|_p = \epsilon}\), to myślę, że funkcje proste były by w sam raz, ale przy dowodzeniu, autorzy piszą, że dla dowodu wybierzmy jakąkolwiek funkcję ograniczoną i niech \(\displaystyle{ \|g - f\|_p = \epsilon}\), czyli mają na myśli, że dowolnie blisko funkcji z \(\displaystyle{ L_{P}}\) leży jakaś funkcja ograniczona, niekoniecznie prosta. Chyba, że ja to źle rozumiem.