Przedział osiągalnych wariancji
Przedział osiągalnych wariancji
Jak można znaleźć przedział wariancji, które mogą być osiągane, gdy wybieramy liczby z przedziału [0,1] (0 i 1 są w nim zawarte)? Wiadomo, że najmniejsza osiągalna wartość, to po prostu 0 (gdy wszystkie liczby są równe). A jak określić największą osiągalną wartość,i dla jakiego przypadku ona wystąpi?
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6126
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1087 razy
Przedział osiągalnych wariancji
Rozsądnym jest założenie, że na maksymalną wariancję (rozumianą jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń od średniej) będą się składać skrajne wartości. Zatem załóżmy, że mamy \(\displaystyle{ a}\) zer oraz \(\displaystyle{ b}\) jedynek. Wówczas:
- średnia to \(\displaystyle{ m=\frac{b}{a+b}}\)
- wariancja to \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b \cdot (1-m)^2 \right]}\)
Szukamy maksimum wariancji, możemy ją rozpisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b \cdot (1-m)^2 \right] =
\frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b - 2bm + bm^2 \right] =
\frac{1}{a+b} \left[ m^2 (a+b) - 2bm + b \right] =\\=
\frac{1}{a+b} \left[ \frac{b^2}{(a+b)^2} (a+b) - 2b \frac{b}{a+b} + b \right] =
\frac{1}{a+b} \left( \frac{b^2}{a+b} - \frac{2b^2}{a+b} + \frac{ab+b^2}{a+b} \right) =\\=
\frac{1}{a+b} \left( \frac{b^2}{a+b} - \frac{2b^2}{a+b} + \frac{ab+b^2}{a+b} \right) = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a+b)^2}}\)
Szukasz maksimum funkcji tych dwóch zmiennych. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi dodatnimi. Powinieneś szybko znaleźć prawidłową odpowiedź.
- średnia to \(\displaystyle{ m=\frac{b}{a+b}}\)
- wariancja to \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b \cdot (1-m)^2 \right]}\)
Szukamy maksimum wariancji, możemy ją rozpisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b \cdot (1-m)^2 \right] =
\frac{1}{a+b} \left[ a \cdot m^2 + b - 2bm + bm^2 \right] =
\frac{1}{a+b} \left[ m^2 (a+b) - 2bm + b \right] =\\=
\frac{1}{a+b} \left[ \frac{b^2}{(a+b)^2} (a+b) - 2b \frac{b}{a+b} + b \right] =
\frac{1}{a+b} \left( \frac{b^2}{a+b} - \frac{2b^2}{a+b} + \frac{ab+b^2}{a+b} \right) =\\=
\frac{1}{a+b} \left( \frac{b^2}{a+b} - \frac{2b^2}{a+b} + \frac{ab+b^2}{a+b} \right) = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a+b)^2}}\)
Szukasz maksimum funkcji tych dwóch zmiennych. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi dodatnimi. Powinieneś szybko znaleźć prawidłową odpowiedź.
