Definicje Cauchy'ego i Heinego granic funkcji ?

[aniu_ta]

Witam. Ostatnio w szkole zaczęliśmy granice i mi, i mojemu koledze nie podobają się te definicje, które dostaliśmy. Wydają się być poprawne, ale w każdej z nich pojawia się liczba \(\displaystyle{ a}\), nie wiadomo po co i dlaczego. Poniżej przykłady. Mógłby ktoś powiedzieć po co jest tam ona i co ona wnosi?

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left(x_n \in (a;+ \infty ) \wedge \lim_{ n\to + \infty } = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{ \epsilon > 0} \bigvee\limits_{\delta} \bigwedge\limits_{x \in (- \infty ;a)} \left( x< \delta \Rightarrow |f(x)-g|<\epsilon \right)}\)

Moim zdaniem te kwantyfikatory lub założenia z \(\displaystyle{ a}\) są zbędne, zamiast tego powinno być \(\displaystyle{ x \in D_f}\)

Ewentualnie: mógłby mi ktoś podesłać link do porządnego źródła (skrypt, fragment książki itp.) zawierającego definicje Cauchy'ego i Heinego granic funkcji w punkcie i w nieskończoności (również niewłaściwych)?

Szukałam trochę w internecie i w moich książkach (Fichtenholz, Krysicki i inne) ale nie znalazłam zadowalających mnie. Chodzi mi o definicje na symbolach, może być nawet w angielskiej notacji, jeśli takie posiadacie. Znalazłam tylko def. Heinego w książce "Tablice matematyczne" wyd. Podkowa i wyglądają one całkiem sensownie, więc bardziej zależy mi na tych drugich.

[matmatmm]

Również wydaje mi się, że wprowadzanie tam tego \(\displaystyle{ a}\) jest niepotrzebne. Prawdopodobnie chodzi o to, że dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma być zbiór \(\displaystyle{ (a,+\infty)}\). Założenie to można zastąpić założeniem, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny. Wtedy definicje też są poprawne, ale być może niektórzy autorzy chcą dodatkowo, aby dziedzina była zbiorem bardziej regularnym, czyli przedziałem.

[yorgin]

Stwierdzenie, że \(\displaystyle{ x_n\in (a,+\infty)}\) uważam za kosmetykę.

Jeśli jakiś ma tę cechę, że \(\displaystyle{ x_n\to +\infty}\), to i tak dla dla dowolnego \(\displaystyle{ M}\) jest takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n\geq N}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n>M}\) . Zatem tylko skończenie wiele wyrazów jest "swobodnych".

Aha, jeszcze jedna uwaga. \(\displaystyle{ a}\) czy jest? Nie zostało skwantyfikowane, więc albo jest dane, albo brak odpowiedniego kwantyfikatora.

[aniu_ta]

yorgin, no właśnie to \(\displaystyle{ a}\) mnie dziwi, kolega mówił że nie ma żadnego kwantyfikatora, więc to sugeruje że powinno być dane, a profesor chyba mówiła, że to "jakieś dowolne \(\displaystyle{ a}\)". Właśnie zamierzałam ją podpytać jutro dokładniej o co chodzi, dlatego głównie założyłam ten temat, bo liczyłam, że ktoś mi podrzuci jakieś porządne źródło z definicjami, żebym miała się czym podeprzeć.

Te definicje są wzięte z jakiegoś podręcznika, może w nim jest rozwiązanie zagadki.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left(x_n \in (a;+ \infty ) \wedge \lim_{ n\to + \infty } = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

Ja bym to zapisał tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left( \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

Skutecznie eliminuję wielkości nieskwantyfikowane oraz "jakieś dowolne".

[aniu_ta]

też bym to tak napisała:) albo w ogóle tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left\lbrace \left[\bigwedge\limits_{n \in N} \left(x_n \neq x_0 \wedge x_n \in D_f \right) \wedge \lim_{ n\to + \infty } = + \infty \right] \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right\rbrace}\)

czyli jeszcze dodatkowo z założeniami dla wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\)

[yorgin]

To, że \(\displaystyle{ x_n\in D_f}\) kryć się powinno przy kwantyfikowaniu samego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\).
Dodatkowo warunek \(\displaystyle{ x_n\neq x_0}\) jest za mocny. Wszak można brać ciąg, który ma \(\displaystyle{ 1000}\)początkowych wyrazów równych \(\displaystyle{ 10}\), a potem brać kwadraty kolejnych liczb naturalnych.

[matmatmm]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left(x_n \in (a;+ \infty ) \wedge \lim_{ n\to + \infty } = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

Ja bym to zapisał tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{(x_n)} \left( \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

Skutecznie eliminuję wielkości nieskwantyfikowane oraz "jakieś dowolne".

Jest pewien drobny szczegół. Trzeba dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny. W przeciwnym wypadku nie będzie istnieć ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) taki, że \(\displaystyle{ x_{n}\in D_{f}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty}\), wobec czego definicja będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej. Wprowadzenie tego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązuje właśnie ten problem.

[yorgin]

Jest pewien drobny szczegół. Trzeba dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny. W przeciwnym wypadku nie będzie istnieć ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) taki, że \(\displaystyle{ x_{n}\in D_{f}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty}\), wobec czego definicja będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej. Wprowadzenie tego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązuje właśnie ten problem.

Skoro liczysz granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\), to masz założone, że to jest punkt skupienia. A jeśli chcesz to \(\displaystyle{ a}\) wprowadzić, to powinieneś dopisać, poza tym, że rozwiązuje problem, jaka jest jego rola, gdyż ja nie widzę tego. Nie wiem, czy to jest dana wielkość, czy kwantyfikowana.

Edit: To \(\displaystyle{ a}\) sprawia, że wyrazy ciągu są ograniczone z dołu, co jest prawdziwe pod warunkiem poprawnego opowiedzenia, czym dokładnie to \(\displaystyle{ a}\) jest.

Edit 2: Ten sam warunek \(\displaystyle{ x_n (a,+\infty)}\) można dopisać w przypadku granicy w zerze. Co wtedy?

[matmatmm]

Chodziło mi o to, że ten warunek, który podałeś sam w sobie nie jest definicją. Musi być drugi warunek, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny.

Natomiast jeśli chodzi o \(\displaystyle{ a}\), to to co jest napisane w pierwszym poście rozumiem tak, że \(\displaystyle{ D_{f}=(a,+\infty)}\) i wtedy definicja jest kompletna.

[yorgin]

Chodziło mi o to, że ten warunek, który podałeś sam w sobie nie jest definicją. Musi być drugi warunek, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny.

Tak, ale przecież i tak kwantyfikujesz po ciągach \(\displaystyle{ (x_n)\subset D_f}\), więc to całe dopisywanie wydaje mi się trochę sztuczne.

Natomiast jeśli chodzi o \(\displaystyle{ a}\), to to co jest napisane w pierwszym poście rozumiem tak, że \(\displaystyle{ D_{f}=(a,+\infty)}\) i wtedy definicja jest kompletna.

J/w + zgadzam się z tym stwierdzeniem. Niemniej powinno się mimo wszystko zaznaczyć gdzieś na boku, ze dla przykładu \(\displaystyle{ D_f=(a,+\infty)}\), by nie budziło to żadnych wątpliwości.

[matmatmm]

Chodziło mi o to, że ten warunek, który podałeś sam w sobie nie jest definicją. Musi być drugi warunek, że \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia dziedziny.

Tak, ale przecież i tak kwantyfikujesz po ciągach \(\displaystyle{ (x_n)\subset D_f}\), więc to całe dopisywanie wydaje mi się trochę sztuczne.

Dopisanie tego warunku jest konieczne, bo tak jak napisałem wcześniej jeśli \(\displaystyle{ +\infty}\) nie jest punktem skupienia dziedziny, to nie istnieje ciąg o wartościach w dziedzinie, który spełnia \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty}\) i definicja jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Posłużę się analogią, żeby to lepiej wytłumaczyć. Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \bigwedge_{x,y\in A}\bigwedge_{\lambda\in[0,1]}\lambda x+(1-\lambda)y\in A}\)

Czy zbiór pusty jest wypukły w sensie tej definicji? Oczywiście tak, bo nie istnieją \(\displaystyle{ x,y\in\emptyset}\).-- 25 kwi 2013, o 21:01 --Albo jeszcze inaczej: Implikacja
\(\displaystyle{ \left( \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)
będzie zawsze prawdziwa, gdyż poprzednik jest fałszywy.

[yorgin]

Kosmetyka:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f(x)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\red {(x_n)\subset D_f} } \left( \lim_{ n\to + \infty }x_n = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty } f( x_n ) =g \right)}\)

W zasadzie wpisałem to, co zapisałem. I zapisałem, że definicja jest ok jeśli \(\displaystyle{ +\infty}\) jest punktem skupienia nie w definicji, ale "obok". Inaczej lewa strona definicji pozbawiona jest sensu.

Dodatkowo, warunek \(\displaystyle{ x_n\in (a,+\infty)}\) wcale nie implikuje tego, że istnieje jakikolwiek ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) zbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

[matmatmm]

Dodatkowo, warunek \(\displaystyle{ x_n\in (a,+\infty)}\) wcale nie implikuje tego, że istnieje jakikolwiek ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) zbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Jak to nie? Choćby ciąg \(\displaystyle{ x_{n}=a+n}\).

[Rumek]

Tak w ogóle to jeśli chodzi o formalizm to napisanie samego tego szlaczka w taki czy inny sposób nie jest żadną definicją bo nie wiadomo czym jest \(\displaystyle{ f}\) czym jest \(\displaystyle{ g}\) i tak dalej. Dlatego w analizie matematycznej poprzez funkcję rozumie się uporządkowaną trójkę zbiorów spełniającą wiadomo jakie warunki i za każdym razem gdy definiujemy coś dla funkcji definicję zaczyna się na przykład tak: Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f:\RR\mapsto \RR}\) ... by właśnie uniknąć pewnych niedomówień, bo wtedy między innymi dziedzina definiuje funkcję a nie odwrotnie no i wiadomo czym jest \(\displaystyle{ g}\) bo bez tego teoretycznie równie dobrze mogłoby być jabłkiem .