Obraz przedziału

[Zbyszek92]

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą, a \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) dowolnym przedziałem otwartym ograniczonym. Czy zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\) musi być przedziałem?
Intuicyjnie wydaje mi się, że odpowiedź będzie pozytywna (dzięki ciągłości f )

Z góry dziękuję za wszelką pomoc

[bartek118]

A jakie mamy topologie w dziedzinie i przeciwdziedzinie? Bo w dowolnych tak być nie musi.

[Zbyszek92]

Zarówno dziedzinę jak i przeciwdziedzinę bierzemy z metryką naturalną.

[norwimaj]

Oczywiście nie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}}\), tylko \(\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{R}}\)?

Ciągłym obrazem zbioru spójnego jest zbiór spójny, a spójne podzbiory \(\displaystyle{ \RR}\) to przedziały. Poza tym można pokazać, że obraz będzie przedziałem ograniczonym.

[Zbyszek92]

Tak, głupotę napisałem z tym A. Jak mógłby wyglądać dowód?

[norwimaj]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(A)}\) nie jest spójny. Wtedy istnieją zbiory otwarte, rozłączne \(\displaystyle{ U,V}\) takie, że \(\displaystyle{ f(A)\subseteq(U\cup V)}\) oraz \(\displaystyle{ U\cap f(A)\ne\emptyset}\), \(\displaystyle{ V\cap f(A)\ne\emptyset}\). Co można powiedzieć o przeciwobrazach \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)?

[Zbyszek92]

\(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}(U) ,}\) \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}(V)}\)?

[norwimaj]

Raczej \(\displaystyle{ A\subseteq f^{-1}(U\cup V)}\).

[Dasio11]

Poza tym można pokazać, że obraz będzie przedziałem ograniczonym.

Czy to aktualne?

[bartek118]

Poza tym można pokazać, że obraz będzie przedziałem ograniczonym.

Czy to aktualne?

No to akurat jest ewidentny blef ;D

[norwimaj]

Przyznaję, że podane przeze mnie stwierdzenie jest nieprawdziwe. Nie pamiętam, czemu tak stwierdziłem. Może myślałem o przedziale domkniętym A.

Edit:

Jednak wcale nie blef. Już sobie przypomniałem.

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą

W szczególności \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą na zbiorze \(\displaystyle{ \overline{A}}\). Przedział \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest pokryty przez rodzinę zbiorów otwartych \(\displaystyle{ \{f^{-1}((-x,x)):x\in\RR_+\}}\). Korzystamy dalej ze zwartości \(\displaystyle{ \overline{A}}\) i wkrótce dostajemy tezę.