Prosta (?) granica do obliczenia

[aniu_ta]

Jak obliczyć:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left( \frac{3}{1- \sqrt{x} } - \frac{2}{1- \sqrt[3]{x} } \right)}\)

Proszę o odpowiedź, dopiero zaczynam przygodę z granicami funkcji:)

[cosinus90]

Sprowadzić do wspólnego mianownika.

[Kartezjusz]

Ewentualnie wcześniej pozbądź się niewymierności.

[aniu_ta]

OK, mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} -2 \sqrt[3]{x^2}-2 \sqrt[3]{x}+1 }{1-x}}\)

I właśnie tu utknęłam bo nie wiem co z tym zrobić.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{x}-1)^{2}= \sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}\)

[aniu_ta]

OK, czyli mam:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} -2 \sqrt[3]{x^2}-2 \sqrt[3]{x}+1 }{1-x}=\lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} -3 \sqrt[3]{x^2}+( \sqrt[3]{x}-1)^{2} }{1-x}=\lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x}\left(1- \sqrt[6]{x} \right)+( \sqrt[3]{x}-1)^{2} }{1-x}}\)

O to chodzi? Czy niepotrzebnie wyciągnęłam \(\displaystyle{ 3 \sqrt{x}}\) przed nawias? Co dalej? Może rozpisać mianownik?

[Kartezjusz]

Nie. Dzielisz teraz każdy nawias z osobna przez mianownik,a potem korzystasz ze wzorów na różnice potęg.
btw. Skąd takie zainteresowania w pierwszej liceum?

[aniu_ta]

Ale to co do tej pory napisałam jest w porządku? I teraz mam podzielić każdy nawias tak jak napisałeś? Jeśli tak, to zaraz napiszę, co mi z tego wyjdzie.

W drugiej. Właśnie zaczęliśmy granice w szkole, potem pochodne, a w trzeciej klasie całki.

[kamil13151]

Przyjmując \(\displaystyle{ x=t^6}\) mamy do policzenia: \(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} \left( \frac{3}{1-t^3} - \frac{2}{1-t^2} \right)}\), teraz jest zdecydowanie łatwiej.

[aniu_ta]

Kartezjusz, podzieliłam tak jak mówiłeś, ale już chyba sobie odpuszczę te pierwiastki:)

kamil13151, dziękuję, wyszło całkiem szybko i zgodnie z odpowiedziami.