zbiory zwarte lub spójne

[gawli]

Które ze zbiorów są zwarte , a które spójne ?
\(\displaystyle{ 1)[0,1) \times [0,1]\\
2)([-1,1]\setminus\{0\}) \times [-1,1]\\
3)\{(x,y):1 \le x ^{2}+y ^{2} \le 4 \}}\)

Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie. Np. w 1 ZAD.
rysuję

(ten górny bok kwadratu powinien być ciągły)

Zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest spójny bo zawiera podzbiór \(\displaystyle{ A}\)
teraz czy jest zwarty (domknięty i ograniczony)
Pomiędzy jest koniunkcja więc wystarczy aby jedno nie zachodziło
Nie jest domknięty w \(\displaystyle{ \{1\} \times [0,1]}\)
A powinien być też zwarty według odpowiedzi.

[yorgin]

Jaka jest metryka/topologia?

[gawli]

Nie jest podane w zadaniu.

[yorgin]

Rewelacja. To co, mam sobie wybrać metrykę dyskretną? A może euklidesową? To Ty powinieneś wiedzieć, nie ja.

[gawli]

chyba trzeba przyjąć sobie dowolną

[yorgin]

Da się rozwiązać na każdej metryce.

Dla maksimowej

1) nie jest zwarty, jest spójny.

2) Nie rozumiem zapisu zbioru.

3) Pierścień jest zwarty i spójny.

Zbiór B jest spójny bo zawiera podzbiór A
teraz czy jest zwarty (domknięty i ograniczony)
Pomiędzy jest koniunkcja więc wystarczy aby jedno nie zachodziło
Nie jest domknięty w \(\displaystyle{ {1} \times [0,1]}\)
A powinien być też zwarty według odpowiedzi.

Co z tego, że \(\displaystyle{ B}\) zawiera jakiś \(\displaystyle{ A}\) ?

Pomiędzy czym jest koniunkcja?

Nie jest domknięty w czym? To nawet zbiór nie jest.

Zwarty? W którym zbiorze mowa? Tym z 1)? On nie chce być zwarty w wielu klasycznych metrykach.

[gawli]

w drugim po zerze ma być nawias , ale zawsze Latex ucina

-- 20 kwi 2013, o 21:48 --

Ten drugi zbiór wziąłem z:
"Zbiór \(\displaystyle{ A}\) nazywamy spójnym, gdy nie istnieją dwa zbiory otwarte, rozłączne \(\displaystyle{ U, V (U \cap V= \emptyset )}\), takie że\(\displaystyle{ A \cap U \neq \emptyset , A \cap V \neq \emptyset , A=(A \cap U) \cup (A \cap V)}\)

-- 20 kwi 2013, o 21:49 --

koniunkcja jest w warunku na zwarty , ponieważ musi być domknięty \(\displaystyle{ \wedge}\) ograniczony

-- 20 kwi 2013, o 21:52 --

1) nie jest zwarty, jest spójny.

Zwarty? W którym zbiorze mowa? Tym z 1)? On nie chce być zwarty w wielu klasycznych metrykach.

Też tak myślałem , więc w odpowiedziach jest błąd.

-- 20 kwi 2013, o 21:53 --

Mógłby Pan mi wytłumaczyć skąd to rozumowanie ?

-- 20 kwi 2013, o 21:59 --

Jeżeli w przedziale np. \(\displaystyle{ (1,2] \times (3,4]}\) pojawiają się nawiasy słabe to rozumiem , że ten przedział z lewej i z dołu jest otwarty , więc jest ogólnie otwarty ... Dobrze ?

[yorgin]

w drugim po zerze ma być nawias , ale zawsze Latex ucina

Nawiasów nie utnie, jeśli się napisze je tak:

{ }

Wtedy zbiór 2) to kwadrat z wyciętym odcinkiem. Nie jest ani zwarty, ani spójny.

Ten drugi zbiór wziąłem z:
"Zbiór A nazywamy spójnym , gdy nie istnieją dwa zbiory otwarte , rozłączne \(\displaystyle{ U , V (U \cap V= \emptyset )}\), takie że\(\displaystyle{ A \cap U \neq \emptyset , A \cap V \neq \emptyset , A=(A \cap U) \cup (A \cap V)}\)

To mówi tyle, że zbiór da się rozłożyć na dwa rozłączne kawałki otwarte (lub otwarte w topologii/metryce śladowej). Co ma do tego zawieranie jednego zbioru w drugim?

koniunkcja jest w warunku na zwarty , ponieważ musi być domknięty \(\displaystyle{ \wedge}\) ograniczony

Jeśli mamy na myśli zdania napisane po polsku, lepiej jest odnosić się do nich bez języka matematycznego - nie wciskamy na siłę języka logiki.

Mógłby Pan mi wytłumaczyć skąd to rozumowanie ?

Które rozumowanie? Nie zostało nic wskazane. To jest zaimkiem wskazującym, który został potraktowany bezkierunkowo.

Jeżeli w przedziale np. \(\displaystyle{ (1,2] \times (3,4]}\) pojawiają się nawiasy słabe to rozumiem , że ten przedział z lewej i z dołu jest otwarty , więc jest ogólnie otwarty ... Dobrze ?

Nie. Jest ani otwarty, ani domknięty.

[gawli]

Dla maksimowej
1) nie jest zwarty, jest spójny.

Chodziło mi o przedstawienie rozumowania dla tych konkretnych przykładów. Bardzo bym prosił o wytłumaczenie skoro nie potrafię nawet wskazać przedziału otwartego.
"Dopełnienia zbiorów otwartych nazywamy zbiorami domkniętymi . Zbiór D nazywamy domkniętym , gdy zbiór \(\displaystyle{ \ R ^{n} \setminus D}\)jest zbiorem otwartym."

W przykładzie 1.
*Czy jest zwarty(domknięty i ograniczony):
-domknięty: nie jest ponieważ pkt. \(\displaystyle{ \left( \frac{9}{10} , \frac{5}{10} \right)}\) należy do zbioru. Czyli możemy dobierać nieskończenie wiele punktów bliskich "1" dla współrzędnej "x".
-ograniczony("Zbiór \(\displaystyle{ A \subset R ^{n}}\) nazywamy ograniczonym , jeśli istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\) takie , że \(\displaystyle{ A \subset K(0,r)}\)")
ja to rozumiem tak , że jest ograniczony , gdy można znaleźć kulę o promieniu większym od zera , aby zbiór się w tej kuli zawarł . Według mnie zbiór z przykładu jest ograniczony
*Czy jest spójny? (z podanej wcześniej definicji i Pańskiego komentarza)
Zbiór da się rozłożyć na dwa rozłączne kawałki , więc jest spójny.

Dobrze?Proszę o nakierunkowanie.

[yorgin]

W przykładzie 1.
*Czy jest zwarty(domknięty i ograniczony):
-domknięty: nie jest ponieważ pkt. \(\displaystyle{ ( \frac{9}{10} , \frac{5}{10} )}\) należy do zbioru. Czyli możemy dobierać nieskończenie wiele punktów bliskich "1" dla współrzędnej "x".

Ok, możemy. Co z tego wynika? Charakteryzacja ciągowa mówi, że każdy ciąg elementów danego zbioru ma mieć granicę w tym zbiorze. Potrafisz wskazać konkretny ciąg?

-ograniczony("Zbiór \(\displaystyle{ A \subset R ^{n}}\) nazywamy ograniczonym , jeśli istnieje r > 0 takie , że \(\displaystyle{ A \subset K(0,r)}\)")
ja to rozumiem tak , że jest ograniczony , gdy można znaleźć kulę o promieniu większym od zera , aby zbiór się w tej kuli zawarł . Według mnie zbiór z przykładu jest ograniczony

Dobrze, jest ograniczony. Potrafisz wskazać promień \(\displaystyle{ r}\)?

*Czy jest spójny? (z podanej wcześniej definicji i Pańskiego komentarza)
Zbiór da się rozłożyć na dwa rozłączne kawałki , więc jest spójny.

Da się? Spójność polega na tym, że nie da się. Być może wcześniej nie wyraziłem się jasno, ale chodzi o nierozkładalność zbioru. A tego zbioru nie da się rozłożyć. Intuicyjnie widać, że nie da rady. Formalnie - jest to iloczyn kartezjański dwóch przedziałów, a więc dwóch zbiorów spójnych. Jest więc spójny.