Zbieżność jednostajna

[mikolajjgn]

Niech \(\displaystyle{ f _{n} :R \rightarrow R,}\)gdzie \(\displaystyle{ f _{n} (x)= \frac{\sin nx}{ \sqrt{n} } .}\)Pokazać ze jest zbiezny jednostajnie ale \(\displaystyle{ f' _{n}}\) nie zbiega do 0

Pochodna wyszła mi \(\displaystyle{ \sqrt{n} \cos nx}\) wiec to nie zbiega do zera .Ale jak pokazać pierwsza cześć??

[Tmkk]

Tutaj była super duża głupota, sory.

[mikolajjgn]

Nadal nie wiem jak

[Tmkk]

Nie wiem jak ja tam szereg widziałem, poza tym to i tak pewnie by nic nie dało.

Więc:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0}\)

Czyli punktowo zbiega do zera.

Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \sup_{x \in R } \left| \frac{\sin nx}{ \sqrt{n} }\right| \to 0}\)

Masz jakiś pomysł?

[pyzol]

Granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left| \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
To powinno wystarczyć do wykazania zbieżności jednostajnej.

[mikolajjgn]

A jak mam pokazać ze zbiega punktów do 0?

[pyzol]

A do czego zbiega \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}}}\)?

[mikolajjgn]

Do 0

-- 19 kwi 2013, o 00:46 --

\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Czyli jest ZZbiezny punktowo do 0 tak?

[pyzol]

No to jeszcze dopisz supremum w mojej nierówności z lewej strony, i już masz pokazane to co napisał Tmkk.