wyprowadzenie wzoru na tg x do potęgi n

[gawli]

Witam . Proszę o pomoc w wyprowadzeniu wzoru . Prowadzący twierdzi , że robi się go analogicznie do \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sin ^{n} x}\). Następującego jednak nie :
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\tg ^{n} x}\)

Dochodzę do wyniku , tworzę równanie z wyjściową całką , ale nic się nie da skrócić , a nawet jeżeli , to kompletnie do zera .
Dochodzę do :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \tg ^{n}x dx - \int_{}^{} \tg ^{n} x \cdot \ \ln \left| \cos x \right| dx = \\ =- \tg ^{n-1} x \cdot \ \ln \left| \cos x \right|+(n-1) \int_{}^{} \tg ^{n-2} x \cdot \ln \left| \cos x\right| dx}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \int\tg ^{n} x= \int \tg^{n-2}x \cdot \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \int \tg^{n-2}{x} \cdot \left( \frac{1}{\cos^2x}-1\right)}\)
i wystarczy rozbić na dwie całki.

Q.

[gawli]

w ten sposób?
\(\displaystyle{ \int \tg^{n-2}{x} \cdot \left( \frac{1}{\cos^2x}-1\right)=\int \frac{\tg^{n-2}{x}}{\cos^2x} dx -\int \tg^{n-2}{x} dx}\)

[Qń]

Tak, teraz wystarczy obliczyć pierwszą całkę, dorzucić przypadki dla \(\displaystyle{ n=0,n=1}\) i jest gotowy wzór rekurencyjny.

Q.

[gawli]

\(\displaystyle{ \int \frac{\tg^{n-2}{x}}{\cos^2x} dx= \int_{}^{} \frac{\sin ^{n-2}x }{\cos ^{n}x }}\)
dalej nie potrafie
nie umiem rozpatrywać przypadków , w ogóle nie mieliśmy nic takiego na zajęciach
Mógł byś proszę to napisać?

[Qń]

nie umiem rozpatrywać przypadków

Jeśli nie umiesz policzyć całek \(\displaystyle{ \int 1dx}\) oraz \(\displaystyle{ \int \tg x dx}\), to całe zadanie przekracza Twoje możliwości.

Całkę \(\displaystyle{ \int \frac{\tg^{n-2}{x}}{\cos^2x} dx}\) liczy się przez podstawienie \(\displaystyle{ \tg x= t}\). Jeśli się ją policzy, to oznaczając \(\displaystyle{ I_n=\int \tg^nx}\) dostaniemy zależność \(\displaystyle{ I_n}\) od \(\displaystyle{ I_{n-2}}\), co w połączeniu z warunkami początkowymi (tzn. wartościami \(\displaystyle{ I_0, I_1}\)) da nam żądany wzór rekurencyjny.

Q.

[gawli]

dziękuję
\(\displaystyle{ \int \frac{\tg^{n-2}{x}}{\cos^2x} dx= \frac{1}{n-1} \ tg ^{n-1}x}\)
ale dalej nie wiem jak rozwiązać \(\displaystyle{ \int \tg^{n-2}{x} dx}\) Jakim sposobem ? Czy tutaj przyda się znajomość całek \(\displaystyle{ \int 1dx , \int \tg x dx}\) ?

[Qń]

Wspomniałeś w pierwszym poście o wzorze na \(\displaystyle{ \int \sin^nx}\) - przecież w tamtej rekurencji też pojawia się \(\displaystyle{ \int \sin^{n-2}x}\). Dlaczego więc dla sinusa to akceptujesz, a dla tangensa nie możesz tego zrozumieć?

Wzór na \(\displaystyle{ I_n= \int \tg^nx}\) jest już gotowy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} I_0=x+C\\
I_1 = - \ln |\cos x|+C\\
I_n = \frac{\tg^{n-1}x}{n-1} - I_{n-2}\end{cases}}\)

Q.

[gawli]

faktycznie we wzorze na \(\displaystyle{ \int \sin^nx}\) również pojawia się \(\displaystyle{ n-2}\) w potędze całki
więc
\(\displaystyle{ \int \tg^nx=\frac{\tg^{n-1}x}{n-1} - \int \tg^{n-2}x}\)

\(\displaystyle{ I_0,I_1}\) otrzymuje się poprzez wstawienie odpowiednio 0 i 1 we wzór \(\displaystyle{ \int \tg^nx}\)
Pominięcie dwóch pierwszych linijek w powyższej klamrze jest dużym błędem ?

[Qń]

Pominięcie dwóch pierwszych linijek w powyższej klamrze jest dużym błędem ?

A w jaki sposób obliczysz na przykład \(\displaystyle{ I_5}\) bez znajomości \(\displaystyle{ I_1}\) albo \(\displaystyle{ I_4}\) bez znajomości \(\displaystyle{ I_0}\)?

Q.