Mam do policzenia moment bezwładności kwadratu, jeżeli oś przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych.
Udało mi się udowodnić, niekorzystając z całek (których jeżeli chodzi o zastosowania w fizyce, nie potrafię liczyć) moment bezwładności kwadratu względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez punkt przecięcia się przekątnych (wybrałem osi równoległe do boków)
i wyszło mi \(\displaystyle{ J_{x}=\frac{a^{4}}{12} \\ J_{y}=\frac{a^{4}}{12}}\)
Teraz mam w książce napisane:
Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów bezwładności względem dwóch prostopadłych osi przechodząych przez ten biegun
\(\displaystyle{ J_{0}=J_{x}+J_{y}}\)
A zatem powinna mi wyjść odpowiedź do zadania: \(\displaystyle{ J_{0}=J_{x}+J_{y}=\frac{a^{4}}{6}}\)
A znalazłem w internecie odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{a^{4}}{12}}\)
Na moj gust to bledu nie popelniassz :
Zalozmy, ze przeciecie przekatnych lezy w punkcie C i mamy do czynienia z prostokatem wtedy: \(\displaystyle{ I _{c} = I _{xc} + I _{yc} = \frac{bh^3}{12} + \frac{hb^3}{12} = \frac{A}{12} \cdot (h^2 + b^2)}\)
A- pole prostokata h,b - boki prostokata.
Czyli dla kwadratu: \(\displaystyle{ I _{c} = \frac{a^4}{6}}\)
Mamy figurę o polu \(\displaystyle{ dS}\) i chcemy policzyć moment bezwładności dla jednej z osi, zrobię to na dwa sposoby:
I sposób.
Ponieważ oś jest odległa od figury o \(\displaystyle{ a}\), zatem moment wynosi: \(\displaystyle{ J_{1}=dS \cdot a^{2}}\)
II sposób.
(*) Najpierw policzę moment dla innej osi, potem wykorzystam Twierdzenie Steinera.
Weźmy sobię oś, odległą od figury o \(\displaystyle{ b}\), leżącą po tej samej stronie co oś, która jest odległa od figury od \(\displaystyle{ a}\). Wtedy wykorzystując (*), mamy
W twierdzeniu Steinera \(\displaystyle{ I=I_0+md^2}\), moment bezwładności \(\displaystyle{ I_0}\) odnosi się do osi przechodzącej przez środek masy ciała.
