Rozwiąż równanie trygonometryczne

[Union]

\(\displaystyle{ \sin ^{4}\frac{x}{2}+\cos ^{4}\frac{x}{2}= \frac{5}{8}}\)

Mam taki problem, bo zadanie niby rozwiązane ale na przykład \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}}\) ma wedle zbiorów pazdro rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) ale powinno być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{3}}\) (chyba ?)

Jakie Wy macie rozwiązania ?

p.s tak szukałem
p.s.2 to oczywiście jedno z kilku rozwiązań.

[piasek101]

Podaj swoje.

[Union]

podejrzliwy moje: \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}}\) to dla sinusa równego \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) - i o to na razie mi chodzi.
no a pazdro ma tylko \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}}\)

[p2310]

\(\displaystyle{ \left( \sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2} \right) ^{2} -2\sin ^{2} \frac{x}{2}\cos ^{2} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin ^{2} \frac{x}{2}\cos ^{2} \frac{x}{2} = \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{6}{8} }}\)
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ \left( \sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2} \right) ^{2} -2\sin ^{2} \frac{x}{2}\cos ^{2} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin ^{2} \frac{x}{2}\cos ^{2} \frac{x}{2} = \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{6}{8} }}\)
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Trochę nie tak.

A rozwiązań są nieskończone ilości.

[Union]

Nieskończone ilości ? pazdro ma 4 ja 8, zresztą kurcze sorry, zapomniałem bo ograniczam to przedziałem \(\displaystyle{ <- \pi , \pi >}\)

[piasek101]

Jak widzisz najlepiej podać kawałek zadania i się zdziwić.

Początek cytowanego ok; pod koniec popsute.

[Union]

Czyli ?

[piasek101]

Druga linijka ok; trzecia już nie.

[Union]

Tylko mi chodzi o pytanie z pierwszego postu a Tobie o rozwiązanie które zaproponowała p2310

[piasek101]

W zadaniu nie ma sinusa jedna druga - więc chodziło mi też o Twoje rozwiązania.

[Union]

I dalej mam problem z tym zadaniem, sprawdźcie moje "myślenie" :
podstawiam za \(\displaystyle{ \sin^{2}\frac{x}{2} = t}\) więc mam równanie":
\(\displaystyle{ t^2+(1-t)^2=\frac{5}{8}}\) i dalej liczę pierwiastki i mam te rozwiązanie które wypisałem w pierwszym poście, co robię źle ? rozumiem że w takim razie \(\displaystyle{ \sin^{2}\frac{a}{2}+\cos^{2}\frac{a}{2} \neq 1}\)

[krystian1863]

Rozwiąż poprawnie równanie kwadratowe, pamiętaj o założeniu, że t \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ <0,1>}\), a potem rozwiąż otrzymane równania trygonometryczne (jeżeli one będą to każde z nich rozbije się na 2 równania po spierwiastkowaniu sinusa), rozwiąż je, pamiętając o dziedzinie o ile nie jest nią \(\displaystyle{ R}\).

[Union]

dzięki, zapomniałem o tym założeniu

[piasek101]

Pisałem ,,druga linijka ok". W niej szukasz kwadratu sinusa podwojonego kąta.