Kresy zbioru uporządkowanego

[dramacik]

W książce Kuratowskiego i Mostowskiego znajduje się definicja kresu górnego następująca:

Przy danym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) liniowo uporządkowanym, zbiorze \(\displaystyle{ T}\) dowolnym i funkcji \(\displaystyle{ f \in A^T}\), kresem górnym nazywamy element \(\displaystyle{ u \in A}\) taki że
(i) \(\displaystyle{ (\forall t\in T) f(t) \le u}\)
(ii) Jeśli dla jakiegoś \(\displaystyle{ v}\) jest \(\displaystyle{ (\forall t\in T) f(t) \le v}\), to \(\displaystyle{ v \ge u}\)

Moje pytanie, to czy jest jakiś powód dla którego została tutaj użyta funkcja \(\displaystyle{ f \in A^T}\) i zbiór \(\displaystyle{ T}\), zamiast prościej jakiegoś podzbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\)?

[Kartezjusz]

Podaj mi tę prostszą definicję.

[Jan Kraszewski]

Nie ma czegoś takiego, jak "definicja kresu górnego", bo nie ma czegoś takiego, jak kres górny. Jest co najwyżej kres górny czegoś.

W Twoim przypadku masz definicję kresu górnego zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\), nazywany czasem kresem górnym funkcji \(\displaystyle{ f}\).

JK

[dramacik]

Prościej byłoby tak, że przy danym zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ A}\), kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) nazywamy element \(\displaystyle{ u \in A}\) taki że
(i) \(\displaystyle{ (\forall x \in B) x \le u}\)
(ii) jeśli \(\displaystyle{ (\forall x \in B) x \le v}\) to \(\displaystyle{ v \ge u}\)

EDIT: Chodzi mi o to, dlaczego zamiast zdefiniować wprost kres \(\displaystyle{ B}\) definiowany jest kres obrazu jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ T}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f \in A^T}\)?

[Jan Kraszewski]

Bo to jest inna definicja - definiujesz inne obiekty.

Żeby było równoważnie, musiałbyś najpierw wprowadzić swoją definicję kresu górnego zbioru (która zresztą nie wymaga liniowości porządku), a potem zdefiniować kres górny funkcji jako kres górny zbioru jej wartości. Ale widocznie K&M mieli potrzebę, żeby od razu zdefiniować sobie kres górny funkcji.

To jest bardzo stary podręcznik, wtedy były trochę inne zwyczaje...

JK