równanie dwu zmiennych

[theoldwest]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^n+(1-x)^n-\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}=0}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}}\)-- 10 kwi 2013, o 00:33 --Myślałem nad tym i mam coś takiego. Sprawdzi ktoś?

dla \(\displaystyle{ n>2}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^n+(1-x)^n}\) osiąga najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) (może być pochodna po \(\displaystyle{ x}\)), a że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}<\frac{1}{2^{n-1}}}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\) więc \(\displaystyle{ x^n+(1-x)^n-\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}>x^n+(1-x)^n-\frac{1}{2^{n-1}} \ge 0}\). Pozostaje sprawdzić \(\displaystyle{ n=1,2}\) i poszukać ew. pasujących \(\displaystyle{ x}\)-sów

[Ponewor]

Tak, zgadza się. Bardzo fajne.

Ukryta treść:    

Nie wiem jak dowodziłeś \(\displaystyle{ \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}<\frac{1}{2^{n-1}}}\), ale najfajniej nierównością między średnimi.