Permutacje ciągu małych i dużych liter.

[Grzybek]

Ile jest permutacji 8 liter a,b,c,d,A,B,C,D, tak by mała litera była przed jej odpowiednikiem dużej litery (mała litera nie musi być bezpośrednio przed dużą). Duże litery są w stałej kolejności: A,B,C,D. Przykład: caAbdBCD.

Zadanie z próbnej matury OKE, przygotowanej w celu standaryzacji tegorocznej matury.

Z góry dziękuję za pomoc.

[Qń]

\(\displaystyle{ {8 \choose 2} \cdot {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2}}\)

Najpierw wybieramy dwa miejsca dla \(\displaystyle{ a,A}\) i wstawiamy na nie te dwie litery (małą pierwszą), potem dla \(\displaystyle{ b,B}\) itd.

Q.

[Grzybek]

Ale skąd pewność, że duże litery będą w stałej kolejności? Bo z tego rozwiązania mam taką wątpliwość: załóżmy, że wybraliśmy miejsce 7 dla 'A' a dla 'a' miejsce 3, to 'B' równie dobrze może być za A jak i przed.

[Qń]

O pardą, nie doczytałem treści.

W takim razie ustawmy ciąg \(\displaystyle{ aABCD}\) i wstawiajmy do niego kolejne litery. \(\displaystyle{ b}\) możemy wstawić na trzy sposoby przed \(\displaystyle{ B}\), następnie \(\displaystyle{ c}\) możemy wstawić na pięć sposobów przed \(\displaystyle{ C}\) i na końcu \(\displaystyle{ d}\) możemy wstawić na siedem sposobów przed \(\displaystyle{ D}\).

W sumie zatem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 5\cdot 7 = 105}\).

Q.

[Grzybek]

A mógłbym jeszcze prosić o dokładniejsze rozpisanie, bo zauważyłem, że b przed B możemy wstawić na dziewięć sposobów:
aAb()()BCD
aA()b()BCD
aA()()bBCD
baA()()BCD
b()aA()BCD
()baA()BCD
b()()aABCD
()b()aABCD
()()baABCD

gdzie () to c lub d

i jeszcze są opcje, że litera B przesunie się do przodu:

aAb()B()CD
aA()bB()CD
()aAbB()CD
()abAB()CD
a()bAB()CD
b()aAB()CD
ab()AB()CD
ba()AB()CD
baAB()()CD
abAB()()CD

(tu nie wiem nawet czy wszystkie możliwości wypisałem )

w ogóle nie wiem jak to działa i dziękuje bardzo za pomoc

[Qń]

zauważyłem, że b przed B możemy wstawić na dziewięć sposobów:

Nie, \(\displaystyle{ b}\) przed \(\displaystyle{ B}\) do ciągu \(\displaystyle{ aABCD}\) możemy wstawić na trzy sposoby: albo jako pierwsze, albo za \(\displaystyle{ a}\), albo za \(\displaystyle{ A}\).

Jak już wybierzemy miejsce dla \(\displaystyle{ b}\), to do kolejki wstawiamy \(\displaystyle{ c}\). Przed \(\displaystyle{ C}\) stoją cztery "osoby", więc \(\displaystyle{ c}\) ma do wyboru pięć miejsc (za pierwszą "osobą", za drugą, za trzecią, za czwartą albo też na początku). Jak już i \(\displaystyle{ c}\) się ustawił, to teraz do kolejki wchodzi \(\displaystyle{ d}\). Przed \(\displaystyle{ D}\) stoi sześć "osób", więc \(\displaystyle{ d}\) ma do wyboru siedem miejsc.

Q.

[Grzybek]

O dziękuje już rozumiem

[ewusia]

Stary wątek, ale zadanie dość ciekawe.

Qń przyjął, że np. A stoi przed B, a tak być nie musi, więc rozwiązanie nie jest poprawne.

[Qń]

Qń przyjął, że np. A stoi przed B, a tak być nie musi

Może przeczytaj jeszcze raz treść zadania, ze szczególnym uwzględnieniem fragmentu

Duże litery są w stałej kolejności: A,B,C,D.

Q.