Równanie trygonometryczne

[Bugmenot]

Wykaż, że dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha \in (0,90)}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } \ge 2}\)

Proszę o wyjaśnienie.

[kamil13151]

Spróbuj pierw udowodnić, że: \(\displaystyle{ a + \frac{1}{a} \ge 2}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ a>0}\).

[Bugmenot]

Spróbuj pierw udowodnić, że: \(\displaystyle{ a + \frac{1}{a} \ge 2}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ a>0}\).

Udowodniłem, że \(\displaystyle{ a=1}\), ale nie wiem co dalej z tym zrobić.

[kamil13151]

Czy znasz albo czy umiesz udowodnić nierówność \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 2ab}\) ?

[Kacper20]

To jakieś głupoty Ci wyszły.
Ten dowód to: suma liczby i jej odwrotności, dla liczb dodatnich jest większa lub równa 2.
Wiesz, że tangens jest dodatni w pierwszej ćwiartce, więc zauważasz, że możesz wykorzystać właśnie tą zależność. Może faktycznie łatwiej na literkach
Spróbuj zrobić dowód, sprowadza się do znajomości wzoru skróconego mnożenia. Pozdrawiam

[Bugmenot]

\(\displaystyle{ a + \frac{1}{a} \ge 2}\)
czyli \(\displaystyle{ (a-1) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \in naturalnych dodatnich}\)
Dobrze ? Jeśli tak to co dalej ?

[piasek101]

Nie, i nie musi być naturalne.

Dla dodatnich (a) masz \(\displaystyle{ a^2+1\geq 2a}\)