Sup i inf

[izaizaiza]

Niech zbiór \(\displaystyle{ A \subset R}\) będzie ograniczony z góry oraz \(\displaystyle{ k}\) ustaloną liczbą ujemną. Wykaż, że \(\displaystyle{ \inf (k \cdot A)=k \cdot \sup (A)}\).

Czy można rozwiązać to zadanie inaczej, niż dowodząc nierówności w obie strony?

[matmatmm]

To można chyba zrobić z definicji.

[izaizaiza]

\(\displaystyle{ a \le \sup A}\)
\(\displaystyle{ k \cdot a \ge k \cdot \sup A}\)
\(\displaystyle{ k \cdot A \ge \inf (k \cdot A)}\)
Istnieje takie \(\displaystyle{ a \in A}\)\(\displaystyle{ }\), że dla każdej \(\displaystyle{ \partial \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \ge \sup A - \frac{ \partial }{k}}\)
\(\displaystyle{ k \cdot a \le k \cdot \sup A - \partial}\). Coś takiego?

[matmatmm]

\(\displaystyle{ a \le \sup A}\)
\(\displaystyle{ k \cdot a \ge k \cdot \sup A}\)
\(\displaystyle{ k \cdot A \ge \inf (k \cdot A)}\)

Nie rozumiem skąd to drugie przejście (\(\displaystyle{ k \cdot A}\) to nie jest liczba przecież). Zakończyłbym na drugiej linijce, bo stąd wynika, że \(\displaystyle{ k \cdot \sup A}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ k \cdot A}\).

Istnieje takie \(\displaystyle{ a \in A}\)\(\displaystyle{ }\), że dla każdej \(\displaystyle{ \partial \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \ge \sup A - \frac{ \partial }{k}}\)
\(\displaystyle{ k \cdot a \le k \cdot \sup A - \partial}\). Coś takiego?

Prawie dobrze. Kwantyfikatory są na odwrót i nierówności są ostre. Dla każdej \(\displaystyle{ \partial > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ a \in A}\) . I zauważ, że \(\displaystyle{ k}\) jest ujemne więc będzie
\(\displaystyle{ a > \sup A + \frac{ \partial }{k}}\) . Dalej spróbuj sama.

[izaizaiza]

\(\displaystyle{ A}\) miało być małe, kwantyfikatory rzeczywiście na odwrót. Czy w tym przypadku \(\displaystyle{ a>\sup A + \frac{ \partial }{k}}\) to, że \(\displaystyle{ k}\) jest ujemne wpływa na coś oprócz zmiany znaku nierówności po wymnożeniu? I wtedy mamy, że \(\displaystyle{ k \cdot \sup A}\) jest największym dolnym ograniczeniem co kończy dowód?

[matmatmm]

Wpływa w tym sensie, że korzystasz z definicji supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), dla \(\displaystyle{ \varepsilon=-\frac{\partial}{k}>0}\)

[izaizaiza]

Ach, no tak. I to już jest koniec dowodu, bo wychodzi definicja infimum, prawda?

[matmatmm]

Tak

[izaizaiza]

Super, dziękuje za pomoc.