Wykaż brak całkowitych rozwiązań równania.

[Union]

Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych:
\(\displaystyle{ x^{2}-x+1=\frac{x}{x+1}}\)

Rozwiązanie znalazłem - ale bardzo lakoniczne, więc jakby ktoś mógł podpowiedzieć jak to wykazać-byłbym wdzięczny.

[Vardamir]

Taki luźny pomysł.

Równanie można przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ (x-1)^2=\frac{-x^2}{x+1}}\)

A następnie do równania trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ x^3+2x^2-x-1=0}\)

I teraz badać wyłącznie to równanie.

[Qń]

Mamy równoważnie:
\(\displaystyle{ x^{2}-x+1=\frac{x}{x+1}\\
x^{2}-x+1=1- \frac{1}{x+1}\\
x^2-x= -\frac{1}{x+1}}\)
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) było całkowite, to lewa strona byłaby całkowita, zatem prawa też, tak więc \(\displaystyle{ x+1}\) musiałoby być dzielnikiem jedynki. To oznacza, że \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=-2}\). Łatwo jednak sprawdzić, że żadna z tych liczb nie jest rozwiązaniem równania, a w takim razie \(\displaystyle{ x}\) nie może być całkowite.

Można też rozumować tak, że dla \(\displaystyle{ x}\) całkowitych lewa strona ostatniej równości jest całkowita parzysta, a prawa nawet jeśli jest całkowita, to musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).

Q.

[Ponewor]

Qń, podobnie do ostatniego wnioskowania można było się bawić już przy pierwotnym równaniu. Lewa strona jest całkowita nieparzysta, a prawa to iloraz liczb różnej parzystości, czyli liczba albo niecałkowita, albo liczba parzysta.

[Qń]

Rzeczywiście, tak najładniej.

Q.