nierówność z rekurencjami

[theoldwest]

Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,...,a_n \ge 1}\), \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N_+}}\)

Mamy \(\displaystyle{ n}\) rekurencji z liczbami \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} f_1={1+a_1}\\ f_{n+1}={\frac{f_n^2+1^2}{2}} \end{cases}}\), \(\displaystyle{ \begin{cases} g_1={1+a_2}\\ g_{n+1}={\frac{g_n^2+1^2}{2}} \end{cases}}\),\(\displaystyle{ \begin{cases} h_1={1+a_3}\\ h_{n+1}={\frac{h_n^2+1^2}{2}} \end{cases}}\),...,\(\displaystyle{ \begin{cases} l_1={1+a_n}\\ l_{n+1}={\frac{l_n^2+1^2}{2}} \end{cases}}\)

Pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{f_k}+\frac{2}{f_k \cdot g_k}+\frac{3}{f_k \cdot g_k \cdot h_k}+...+\frac{n}{f_k \cdot g_k \cdot h_k \cdot ... \cdot l_k}< 2}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N_+}}\) jest takie samo dla wszystkich rekurencji \(\displaystyle{ f,g,h,...,l}\)

[Errichto]

\(\displaystyle{ (f_n-1)^2 \ge 0 \\ f_n^2-2f_n+1 \ge 0 \\ f_n^2+1 \ge 2f_n \\ \frac{f_n^2+1^2}{2} \ge f_n \\ f_{n+1} \ge f_n}\)
Zamiast powyższego można po prostu nierówność Cauchy'ego zastosować. No i krok indukcyjny jest. Pozostaje pokazać, że nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{a_1+1}+ \frac{2}{(a_1+1)(a_2+1)}+ \ldots + \frac{n}{(a_1+1)(a_2+1) \cdot \ldots \cdot (a_n+1)} \le \frac{1}{2} + \frac{2}{2 \cdot 2} + \ldots + \frac{n}{2^n}}\)
A tę ostatnią sumę warto sobie rozpisać jako taką piramidę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac 18 + \ldots + \frac{1}{2^n} + \\
\frac 14 + \frac 18 + \ldots + \frac{1}{2^n} + \\
\frac 18 + \ldots + \frac{1}{2^n} + \\
\vdots \\
\frac{1}{2^n}}\)
Posumuj kolejne wiersze.

[Ponewor]

a bez piramidki, to pewnie tożsamością Abela da się policzyć (nie sprawdzałem, ale raczej tak), (wciskam się z nią tutaj dlatego, że jestem wielkim jej fanem).