pochodna funkcji elementarnej

[seba21007]

Dlaczego w sieci i na ćwiczeniach pochodna \(\displaystyle{ \log _{x}\left( \sin \left( x\right) \right)}\) zamieniana jest na \(\displaystyle{ \ln}\). Nie można tak zrobić z tego wzoru \(\displaystyle{ \frac{d}{ \mbox{d}x } \left( \log _{a}\left( x\right) \right) = \frac{1}{x \ln \left( a\right)}}\) ?
Z tego w dwóch krokach można obliczyć, że \(\displaystyle{ \frac{d}{ \mbox{d}x } \left( \log _{x}\left( \sin \left( x\right) \right) \right) = \frac{\cos \left( x\right) }{\sin \left( x\right) \ln \left( x\right) }}\)

[Jytug]

Nie można tak zrobić dlatego, że ten wzór działa dla \(\displaystyle{ a = const.}\), a w przypadku zmiennej w podstawie logarytmu, żeby obliczyć pochodną, trzeba iść naokoło - przez zamianę podstawy i wzór na pochodną ilorazu itd. Tak samo nie można powiedzieć że \(\displaystyle{ (x^x)' = (x^x) \cdot \ln (x)}\) tylko dlatego, że \(\displaystyle{ (a^x)' = (a^x) \cdot \ln (a)}\)

[seba21007]

Tak też myślałem... wolałem jednak się upewnić
Dzięki

[cosinus90]

Dodam jeszcze, że oczywiście można zamienić na logarytm o dowolnej stałej podstawie, niekoniecznie na logarytm naturalny. Rzecz jasna jest to czynione dlatego, że wówczas obliczanie pochodnych jest najprostsze.