warunek na n-tą pochodną

[Zbyszek92]

Wiemy, że
1) \(\displaystyle{ [q'(x)=0] \implies q=\mbox{const.}}\)
2) \(\displaystyle{ [\exists_{n} \forall_{x} q^{(n)}=0 ] \implies q(x) - \mbox{wielomian}}\)

3) \(\displaystyle{ [\forall_{x}\exists_{n}q^{(n)}=0] \implies q(x) - ?}\)

Jak wygląda \(\displaystyle{ q(x)}\) w tym 3cim przypadku?

[szw1710]

Nie wiem, ale można rozpocząć burzę mózgów.

Załóżmy zatem, że funkcja \(\displaystyle{ q}\) określona i różniczkowalna nieskończenie wiele razy jest na przedziale \(\displaystyle{ \mathcal{I}\subset\RR}\). Niech \(\displaystyle{ x\in\mathcal{I}.}\) Dobieramy do niego najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) o opisanej własności. A zatem wszystkie pochodne rzędów niższych są niezerowe. Mamy kilka możliwości: miejsce zerowe funkcji, ekstremum lokalne, punkt przegięcia itp. Więc jak by mogła wyglądać funkcja bardzo regularna z ekstremum bądź punktem przegięcia w każdym punkcie?

Być może nie ma takiej funkcji.

[Zbyszek92]

a funkcja stała f(x)=0?

[szw1710]

Tak To trywialny przypadek. Zresztą każda funkcja stała. Można wziąć wielomiany itp. bo w sumie punkty 1 i 2 to WKW, zachodzą implikacje odwrotne. Można też funkcje sklejane, tzw. spliny naturalne. A więc są takie funkcje. Np. weźmy \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Pospieszyłem się twierdząc, że takich funkcji nie ma.

Dalej interesujące pozostaje pytanie o realizacje "niewielomianowe".

[Zordon]

3 to bardzo znane acz niezbyt proste zadanie. Jeśli założymy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) (żeby wszystko miało sens), to tylko wielomiany spełniają rozważany warunek. Wskazówka: tw. Baire'a.

[szw1710]

Ale jak to się ma do "mojej funkcji" \(\displaystyle{ f(x)=(x_+)^2}\)? Na ujemnej półosi zero, więc warunek zachodzi. Na dodatniej półosi \(\displaystyle{ x^2}\), więc nawet wszystkie pochodne począwszy od trzeciej są zerowe. W zerze pochodna zerowa. Więc \(\displaystyle{ \forall\;x\in\RR\;\;\exists\;n\in\NN\;\;f^{(n)}(x)=0.}\)

Z jednej strony nie jest konieczne tutaj \(\displaystyle{ C^{\infty}\), a z drugiej warunek zachodzi.

A... chyba wiem. W \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) wielomiany, a ja mam funkcję tylko klasy \(\displaystyle{ C^1}\). Więc duża regularność wymusza wielomianowość, pozbywając się (jak widać można) regularności, dochodzą inne funkcje.

[Zbyszek92]

jak ma mi to pomóc, bo nie bardzo rozumiem.

[szw1710]

Ja się zastanawiam, nie miałem czasu głębiej. Trzeba dobrze znać tw. Baire'a - jedno z najmocniejszych i najważniejszych twierdzeń analizy. Jakoś czuję, że podobnie jak w dowodzie tw. Banacha mówiącego, że zbiór funkcji ciągłych różniczkowalnych choć w jednym punkcie jest brzegowy w \(\displaystyle{ C[0,1]}\). Dowód tego twierdzenia powinien być na Wikipedii. Bardzo znana osobistość na Forum (nie ja ) często pisze do Wikipedii.

[Zordon]

Tak jak pisałem, to jest trudne zadanie, nie wystarczy trywialne przyłożenie twierdzenia. Trzeba tutaj porządnego rozumowania, które jest jednak dosyć naturalne gdy się o tym bardzo długo pomyśli. Aczkolwiek bez pewnej biegłości w topologii i analizie nie polecam mierzyć się z tym zadaniem. Rozważałem napisanie szkicu rozwiązania, ale uznałem, że nie chce mi się, tak samo jak autorowi tematu nie chciało się napisać bezbłędnie treści zadania.

[szw1710]

Ale są inni chętni słuchacze.

[brzoskwinka1]

zobacz tu: problem 5.