[Planimetria] LXIII OM - finał - zad. 5

[nobuddy]

Czytałem że zadanie 5 () było na finale raczej trudne, ale gdy sobie kminiłem ten finał przepałowałem je dość prosto z sinusów bez żadnych sprytnych spostrzeżeń/dorysowań. Jest coś źle?

Ukryta treść:    

Oznaczamy sobie jakoś kąty trójkąta ABC, i zliczając je wychodzi nam że \(\displaystyle{ \angle ADB = \angle AMC = \angle MAP}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BAP = \angle ACM}\). Z tej pierwszej równości widzimy że jak pokażemy \(\displaystyle{ PD \perp BC}\) to \(\displaystyle{ PD=PA}\) i używając prostopadłości teza. Z talesa by była prostopadłość musi być

\(\displaystyle{ \frac{BP}{PM} = \frac{BD}{DC}}\)

\(\displaystyle{ \frac{AB \cdot \sin \angle BAP}{AM \cdot \sin \angle MAP} = \frac{AB}{AC}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin \angle ACM}{\sin \angle AMC} = \frac{AM}{AC}}\)

a to już jest prawda. Cofając sie teza.

[Swistak]

Nie mam rysunku pod ręką, więc w rozwiązanie wnikać nie będę, ale ja siedziałem nad tym zadaniem ze 2-3h gapiąc się w nie jak głupi i poszło natychmiastowo, gdy pomyślałem o uzyciu sinusów