Całka przez części

[Danlew]

Witam,

czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać tę całkę przez części. Próbowałem na dwa sposoby i nic nie wychodzi. Nie wiem czy robię jakiś błąd w obliczeniach, czy co...

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e^{x} cos^{2}x dx}\)

[Ser Cubus]

użyj wzoru na cosinus podwojonego kąta

[Danlew]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } e^{x} \frac{cos2x + 1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{ \pi } e^{x} cos2x dx + \frac{1}{2} e^{x}}\)

O to chodzi? Jeżeli tak to nie wiem co zrobić dalej z całką którą wychodzi następna.

[yorgin]

Najpierw całka nieoznaczona:

\(\displaystyle{ u=\cos^2x\qquad v'=e^x\\
u'=-\sin 2x\qquad v=e^x\\}\)

\(\displaystyle{ \int e^x\cos^2xdx=e^x\cos^2x+\int e^x\sin 2xdx}\)

Ostatnia całka dwa razy przez części. Za każdym razem \(\displaystyle{ v'=e^x}\).

[Danlew]

Zrobiłem. Nie wiem yorgin, czy do końca tak, jak mi powiedziałeś, po później zrobiłem tylko raz przez części, a później zamieniłem \(\displaystyle{ cos2x}\) na \(\displaystyle{ 2cos^{2}-1}\), wyszła ta sama całka co po lewej stronie, przerzuciłem i wynik ostateczny to \(\displaystyle{ \frac{3e^{ \pi}-3 }{5}}\)
Dzięki za pomoc!