Przestrzenie lp, lq i zależności miedzy nimi.

[Varimatras]

Witam

Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu jednego, trzy punktowego zadania. Zadanie dostałem na analizie jako dodatek pozwalający mi na zdobycie extra punktów do kolokwium. Bardzo mi zależy na rozwiązaniu ich. Choć przyznaje że moja wiedza związana z metrykami, normami itp. ma braki to zrobię co mogę aby rozwiązać to zadanie na tyle samodzielnie na ile się da. Niestety teraz nie wiem nawet jak zastartować mimo że wpatrywałem się w wszystkie definicje przez długi czas. Oto samo zadanie:

Załóżmy, że: \(\displaystyle{ 1 \le p \le q \le \infty}\). Niech \(\displaystyle{ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_{p}}\). Wykazać, że:

1) \(\displaystyle{ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_{q}}\)
2) \(\displaystyle{ \parallel (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \parallel_{q} \le \parallel (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \parallel_{p}}\)
3) Operator: \(\displaystyle{ T:\ell_{p}\ni (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \to (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell_{q}}\) Jest liniowy o normie 1 ale nie jest izometrią.

Skupiłem się na razie na pierwszy. Jakoś wychodzę z założenia, może błędnie że jak pierwszego nie zrobię to na drugie się nie ma co rzucać.

Patrząc po definicjach szereg tego ciągu jest zbieżny, gdyby udało mi się pokazać że ze zbieżności szeregu tego ciągu w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_{p}}\) wynika jego zbieżność w \(\displaystyle{ \ell_{q}}\) to by chyba wszystko załatwiało. Ale jak to zrobić nie mam pojęcia. Jakieś podpowiedzi jak to ruszyć?

[Rumek]

Skoro szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p}\) jest zbieżny to spełnia warunek konieczny a więc jego wyraz ogólny zbiega do zera, w szczególności od pewnego miejsca jego wyrazy są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\). Jaka jest zależność między \(\displaystyle{ x^p}\) a \(\displaystyle{ x^q}\) gdy \(\displaystyle{ x<1}\) i \(\displaystyle{ p\le q}\)? Masz już też część drugiego zadania bo wiesz, że \(\displaystyle{ (x_n)_{n\in\NN}\in \ell_q}\) więc jest sens mówić o normie tego elementu, rozpisz sobie jak one wyglądają i spróbuj oszacować jedną przy pomocy drugiej.

Btw. trzypunktowego piszemy razem

[Varimatras]

Dziękuje za podpowiedz do pierwszego zadania. Udało mi się udowodnić to co chciałem, tak mi się przynajmniej wydaje. W drugim choć na razie szacunki mi nie wychodzą to chyba sobie poradzę. Dużo większy problem mam z trzecim. Schody polegają na tym że nie do końca czuje samą koncepcje operatorów. Wczytywałem się nieco w wykłady. Wychodziło by na to że jest to ściśle powiązane z odwzorowaniem liniowym ale co to robi i dlaczego nie mam pojęcia. Sprawdzenie dwóch początkowych warunków pewnie pójdzie jak po maśle:

\(\displaystyle{ T_{(x,y)}=T_{x}+T_{y}}\)
\(\displaystyle{ T_{(\lambda x)}=\lambda T_{x}}\)

Natomiast potem w zadaniu jest fragment "o normie 1". Chorowałem przez 2 tygodnie i mimo że przeglądnąłem kilka zadań które robiliśmy na liczenie tej normy to wciąż nie wiem jak to się liczy. Wiem że chodzi o jakieś ograniczanie, rozumiem że ograniczenie z góry i dołu pozwala nam na określenie że norma to jakaś konkretna wartość. Może jednak powiem o co chodzi na przykładzie jednego z zadań z zeszytu.

\(\displaystyle{ T_{(x,y)}=3x-2y}\)

Potem liczymy normę euklidesową, sumową i maksymową. Czy ktoś byłby skłonny pokazać mi z tłumaczeniem choć jedną normę? Nie do końca wiem skąd się biorą dolne i górne ograniczenia, zupełnie nie rozumiem co ma do tego wersor normalizujący który się pojawia przy ograniczaniu przykładowo z dołu normy euklidesowej.

[Rumek]

W trzecim liniowość sprawdzisz bez problemu a co do normy operatora to zazwyczaj korzysta się z tego, że, \(\displaystyle{ ||T||=\sup\{||Tx||:x\in X, ||x|| = 1\}}\). No i tak jak napisałeś w pierwszym poście te zadania nie są w przypadkowej kolejności bo przecież \(\displaystyle{ ||Tx||=||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq ||(x_n)_{n\in\\N}||_p}\) ale z racji tego, że wystarczy brać elementy o normie jeden mamy \(\displaystyle{ ||T||\leq 1}\). Mamy jeszcze to supremum, żeby pokazać, że jest to rzeczywiście jeden, wskaż choć jeden ciąg o normie jeden w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_p}\) taki, że jego norma w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_q}\) również będzie jeden.

[Varimatras]

Rozmyślań ciąg dalszy. Dzięki Twojej pomocy Rumek i ponownemu wertowaniu notatek (czasem czytając z sensem a czasem po prostu tępo się w nie wpatrując) zrozumiałem na prostych przykładach idee ograniczania z góry i dołu na. Teraz czas na coś cięższego czyli powrót do mojego zadania. 2 punkt wciąż muszę wykazać ale na jego bazie:

\(\displaystyle{ ||Tx||\leq||T|| ||x||}\)
Podstawiając: \(\displaystyle{ ||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq||T|| ||(x_n)_{n\in\\N}||_q}\)

Czyli mam ograniczenie z dołu bo \(\displaystyle{ ||T||\geq1}\)

Prosisz mnie abym wskazał choć jeden ciąg którego norma w \(\displaystyle{ l_p}\) oraz \(\displaystyle{ l_q}\) będzie 1. Proponuje ciąg (1,0,0,0,...). Wydaje mi się że spełnia wszystkie wymagania. Chyba już powoli wiem do czego to zmierza ale muszę ponownie powertować notatki. (To chyba będzie kolejny fragment który nie wiedziałem o co chodzi wykładowcy, jak mówił, realizacja normy, no ale jeszcze sprawdzę co o tym moje notatki piszą).

Edit:

A przepraszam, za szybko napisałem i zamieszałem. Prosiłeś o ten ciąg abym to właśnie nim ograniczył \(\displaystyle{ ||T||}\) z dołu. Podstawiając do:

\(\displaystyle{ ||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq||T|| ||(x_n)_{n\in\\N}||_q}\)

Ten ciąg: \(\displaystyle{ (1,0,0,...)}\)

Otrzymuję \(\displaystyle{ 1\leq||T||*1}\)

[Rumek]

\(\displaystyle{ ||Tx||\leq||T|| ||x||}\)

Takie szacowanie zachodzi zawsze.

Podstawiając: \(\displaystyle{ ||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq||T|| ||(x_n)_{n\in\\N}||_q}\)

Małe niedopatrzenie. Zauważ, że \(\displaystyle{ Tx}\) jest w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_q}\) a \(\displaystyle{ x}\) bierzesz z \(\displaystyle{ \ell_p}\) więc tam powinny być odpowiednie normy do przestrzeni w jakich znajdują się dane elementy.
Dalej zamieszałeś i nie wiem o co dokładnie Ci chodzi. Jest takie twierdzenie które na pewno masz w notatkach i o którym pisałem, które mówi ,że:

\(\displaystyle{ ||T||=\sup\{||Tx||:x\in X, ||x|| = 1\}}\)

I z tego korzystamy najczęściej przy liczeniu normy. W tym przypadku w taki sposób:

\(\displaystyle{ ||T||=\sup\{||(x_n)_{n\in\NN}||_q : (x_n)_{n\in\NN}\in \ell_p, ||(x_n)_{n\in\NN}||_p = 1\}\leq}\).

Ze względu na nierówność z punktu 2:

\(\displaystyle{ \leq\sup\{||(x_n)_{n\in\NN}||_p : (x_n)_{n\in\NN}\in \ell_p, ||(x_n)_{n\in\NN}||_p = 1\} = 1}\)

I teraz bierzesz ten ciąg \(\displaystyle{ (1,0,0,...)\in\ell_p}\) i on ma normę \(\displaystyle{ 1}\) ale \(\displaystyle{ Tx=(1,0,0,...)\in\ell_q}\) też ma normę \(\displaystyle{ 1}\). Więc to supremum nie może być mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\). Albo jak wolisz dostajesz oszacowanie z dołu:

\(\displaystyle{ ||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq||T|| ||(x_n)_{n\in\\N}||_q}\)

Tylko, że to ma wyglądać:

\(\displaystyle{ ||(x_n)_{n\in\\N}||_q\leq||T|| ||(x_n)_{n\in\\N}||_p}\)

[Varimatras]

Nie lubię kiedy muszę prosić o za dużo podpowiedzi ale czas mi się powoli kończy (do godz. 23:25 dnia dzisiejszego mam oddać pięknie rozpisane zadanie w LaTeX'u). Kolejne pytania:

1)Ktoś może mi powiedzieć jakimi szacunkami mogę 2 zadanie zrobić.
2)Izometria... Są 4 warunki, jednym z nich jest znalezienie funkcji odwrotnej. Znalezienie funkcji dla \(\displaystyle{ x=2y}\) jest banalnie proste ale jak mam szukać dla takiego monstrum jak szeregi w tym zadaniu.
3)Próbowałem sprawdzać pierwszy warunek na liniowość. Szybko rozpisałem i wychodzi mi idealnie nierówność Minkowskiego, tylko że ja mam równość udowodnić. W jaki sposób?
4)Przy drugiem warunku wyszło prawie idealnie. Dostaje \(\displaystyle{ | \lambda |||T||}\), powinienem bez modułu, gdzie coś przegapiłem?

Edit

Czy dla udowodnienia brak izometrii wystarczy obalenie warunku \(\displaystyle{ ||T_{(x)}||=||x||}\)
Co mogę zrobić po przez ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})_{n \in \mathbf{N}}=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...)}\)

[Rumek]

Tak łatwo to nie ma, trzeba rozumieć co się rozwiązuje bez tego ani rusz (no chyba, że ktoś inny Ci napisze gotowe rozwiązania, choć wątpię). Powiedz mi skąd Ci się ta nierówność Minkowskiego i ta norma operatora w liniowości wzięła? Czy do stwierdzenia, że dane odwzorowanie jest liniowe potrzebna nam jest jakakolwiek norma zadana na przestrzeni? Izometria i cztery warunki, jakie? Ja od podstawówki znam tylko jeden warunek, przekształcenie które zachowuje odległość. Jeżeli rozumiesz pojęcie normy to bardzo prosto zapiszesz ten warunek.

[Varimatras]

Rumek, gdybym miał jeszcze dwa dni na oddanie tego zadania z radością bym przyjął że chce Ci się mi wszystko tłumaczyć, niestety zostało mi 4h aby wszystko rozwiązać, przelać na LaTex'a i oddać stąd moja desperacja w pytaniach (dodam że pomogłeś mi zrozumieć wiele zagadnień które dla mnie wcześniej były co najmniej nie jasne).

Co do zapytania o 4 warunki...
W zeszycie mam zapisane coś takiego:

Izometria to odwzorowanie, które zachowuje normę.

\(\displaystyle{ X \rightarrow Y}\), gdzie: X,Y - przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ d_{x}(x_{1},x_{2})=d(f_{(x_{1})},f_{(x_{2})})}\)

1)\(\displaystyle{ f \in \alpha(X,Y)}\)
2)\(\displaystyle{ \exists f^{-1}}\)
3)\(\displaystyle{ f^{-1} \in \alpha(X,Y)}\)
4)\(\displaystyle{ \forall_{x \in X} ||f(x)||=||x||}\)

No i jak napisałem powyżej ten ostatni chce obalić.

Co do sprawdzania liniowości rozpisuje pierwszy warunek do tej postaci to rozpisuje to do takiej postaci:

\(\displaystyle{ (\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^q)^{\frac{1}{q}}+(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|^q)^{\frac{1}{q}}=(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n+y_n|^q)^{\frac{1}{q}}}\)

(Poprawiłem jedno \(\displaystyle{ x_n}\) na \(\displaystyle{ y_n}\) )

[Rumek]

Z izometrią dobrze, przykład też, choć można podać dużo bardziej prosty i musi być spełniony jeszcze jeden warunek bo tu zakładamy, że \(\displaystyle{ p\leq q}\) a w jednym przypadku to będzie izometria.
Liniowość... Jakie warunki musi spełniać odwzorowanie by było liniowe? Weź je tu napisz, same warunki.

[Varimatras]

Rumek, warunki o które prosisz (Jeśli chodzi Ci o warunki ogólnie, nie dostosowane do tego przykładu) napisałem w 2 poście.

\(\displaystyle{ T_{(x,y)}=T_{x}+T_{y}}\)
\(\displaystyle{ T_{(\lambda x)}=\lambda T_{x}}\)

Co do szczególnego przypadku dla izomerii to chodzi o to że jak \(\displaystyle{ p=q}\) to jest to identyczność i zarazem izomeria?

[Rumek]

Z izometrią, tak o to chodzi. W liniowości mają być warunki \(\displaystyle{ T_{(x+y)}=T_{x}+T_{y}}\) i ten drugi który jest dobrze. Teraz powiedz mi gdzie Ty tu widzisz jakąkolwiek normę, że przy rozpisywaniu z niej korzystasz?

[Varimatras]

Teraz doskonale rozumiem o co Ci chodziło i przyznaje że sprawdzenie tych warunków jest wręcz nieprzyzwoicie proste. Z jakiegoś powodu cały czas \(\displaystyle{ T_{(x)}}\) wydziałem jako \(\displaystyle{ ||T_{(x)}||}\) Teraz gdy widzę gdzie zaciął się mój proces myślowy wiem też że Twoje pytania z tym związane były tak proste że aż głupio mi że nie wiedziałem o co dokładnie pytasz.

W tej sytuacji mam wszystko po za 2 punktem, znajdziesz może jakieś wskazówki?

[lukasz.przontka]

Izometria to odwzorowanie, które zachowuje normę.

\(\displaystyle{ X \rightarrow Y}\), gdzie: X,Y - przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ d_{x}(x_{1},x_{2})=d(f_{(x_{1})},f_{(x_{2})})}\)

1)\(\displaystyle{ f \in \alpha(X,Y)}\)
2)\(\displaystyle{ \exists f^{-1}}\)
3)\(\displaystyle{ f^{-1} \in \alpha(X,Y)}\)
4)\(\displaystyle{ \forall_{x \in X} ||f(x)||=||x||}\)

Skąd pochodzi ta definicja izometrii? Bo np.: \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) dana jako, \(\displaystyle{ f(x) = x+1}\), nie spełnia 4 warunku, a jak wiadomo jest to izometria...

[Spektralny]

W analizie funkcjonalnej przez słowo izometria rozumie się przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T\colon X\to Y}\), które zachowuje normę, tj.

\(\displaystyle{ \|Tx\|=\|x\|}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\).

orzeka, że izometrie w sensie podanym wyżej, tj. metrycznym są afiniczne, tj. jeżeli \(\displaystyle{ f\colon X\to Y}\) jest suriekcją pomiędzy rzeczywistymi przestrzeniami Banacha \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), która jest izometrią (metryczną), czyli

\(\displaystyle{ \|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in X}\),

to odwzorowanie \(\displaystyle{ f - f(0)}\) jest liniowe (i izometryczne).

Gdy \(\displaystyle{ p\neq q}\), to każdy operator liniowy \(\displaystyle{ T\colon \ell_p\to \ell_q}\) jest (a więc w szczególności nie ma domkniętego obrazu w przypadku, gdy obraz jest nieskończenie wymiarowy).

Można więc znaleźć taki ciąg punktów \(\displaystyle{ (s^n)_{n=1}^\infty}\) o normie 1 w \(\displaystyle{ \ell_p}\), że

\(\displaystyle{ \inf_{n\in \mathbb{N}}\|T(s^n)\|=0}\).

Zadanie jest jednak dużo prostsze. Weźmy ciąg

\(\displaystyle{ s = (\frac{1}{2^{1/p}}, \frac{1}{2^{1/p}}, 0, 0, \ldots)}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ \|s\|_{\ell_p} = (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2})^{1/p} = 1}\)

Jednak,

\(\displaystyle{ \|Ts\|_{\ell_q} = (\tfrac{1}{2^{q/p}} + \tfrac{1}{2^{q/p}})^{1/{q}} \neq 1}\),

a więc \(\displaystyle{ T}\) nie jest izometrią.

PS. Jeżeli ktoś jest zainteresowany operatorami na \(\displaystyle{ \ell_p}\) niech rzuci okiem na
[url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Pitta]Twierdzenie Pitta[/url]