kilka granic

[dziczka]

mam problem z kilkoma przykładami granic, rozwiązałam je ale wynik wychodzi inny niż powinien, mógłby ktoś to sprawdzić??

1. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 3n - \sqrt{9n^2 + 6n +1}}\)
pomnożyłam przez sprzężenie i wyszło mi:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{9n^2 -9n^2 - 6n -1}{3n+ \sqrt{9n^2 +6n +1} }}\)

podzieliłam przez \(\displaystyle{ n^2}\) i wyszło:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{-6}{n} - \frac{1}{n^2} }{ \frac{3}{n} + \sqrt{9+ \frac{6}{n} \frac{1}{n} } }}\)

co daje: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{0-0}{0+3}=0}\) a niestety ten wynik jest zły, bo powinno być -1


2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }}\)

podzieliłam przez n i wyszło:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+ \frac{2}{n} } - \sqrt{1+ \frac{1}{n} } }{ \sqrt{1+ \frac{1}{n}} - \sqrt{1} }= \frac{1-1}{1-1}=0 }}\) wynik także jest zły, powinno być 1

3. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{n^2 +5n-1} - \sqrt{n^2 +3}}\)

pomnożyłam przez sprzężenie i wyszło:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n-2}{ \sqrt{n^2 +5n +1} +\sqrt{n^2 +3}}}\)

teraz chyba powinno się podzielić wszystko przez n^2, ale wynik znów wyjdzie zły (powinno być 5/2

Co robię źle, że mi nie wychodzi tak jak trzeba?

[Kamil_B]

1.Dzielisz prez \(\displaystyle{ n}\) a nie przez \(\displaystyle{ n^2}\).
2.Pomnóż przez sprzężenia
3.Patrz punkt 1

[miodzio1988]

W pierwszym podziel wszystko przez \(\displaystyle{ n}\) . Twoj pomysl z podzieleniem przez \(\displaystyle{ n^{2}}\)jest zly.

W drugim znow sprzężenia.(tym razem dwa)

W trzecim podziel przez \(\displaystyle{ n}\)

Wyciągaj \(\displaystyle{ n}\) lub \(\displaystyle{ n^{2}}\) z pierwiastka jesli masz taką mozliwość

[dziczka]

dzięki, zaraz poprawię -- 15 sierpnia 2009, 12:44 --Niestety drugi przykład nadal mi nie wychodzi, a w pierwszym wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ \frac{-6}{3+ \sqrt{6} }}\)

mógłby ktoś rozpisać dokładnie jak sobie poradzić?/

[Kamil_B]

wskazówka do 1:

\(\displaystyle{ \sqrt{9n^2+6n+1}=\sqrt{9n^2(1+\frac{2}{3n}+\frac{1}{9n^2})}=3n\sqrt{(1+\frac{2}{3n}+\frac{1}{9n^2})}}\)

Wskazówka do 2:
Po przemnożeniu przez sprzężenia licznika i mianownika jednocześnie powinnaś otrzymac:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}\)

[dziczka]

ale z tego co widzę to mimo tej wskazówki to wynik i tak nie wyjdzie taki jak trzeba, ma być 1 a wyjdzie 0, czy się mylę? chodzi o 1 wskazowke

[Kamil_B]

Wyjdzie -1. Wystarczy że po skorzystaniu z tej wskazówki wyciągniesz przed nawias w mianowniku \(\displaystyle{ 3n}\)

[dziczka]

nie wiem jak to zrobić, pomożesz?

-- 15 sierpnia 2009, 13:17 --

napisałeś: Wskazówka do 2:
Po przemnożeniu przez sprzężenia licznika i mianownika jednocześnie powinnaś otrzymac:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}\)


liczę już 3 raz i cały czas przed tym co podałeś wyskakuje mi 2:
\(\displaystyle{ \frac{2 (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{1 (\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}}\)-- 15 sierpnia 2009, 13:28 --nadal wychodzą mi zupełnie inne wyniki, w 3 przykładnie, np wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)


mógłby ktoś krok po kroku rozwiązać te przykłady? dziękuję za wasze wskazówki ale mimo wszystko mi nie wychodzi....

[Nakahed90]

Pokaż jak liczysz, wtedy poszukamy błędu.

[dziczka]

ok, to przytoczę 2 przykład-- 15 sierpnia 2009, 13:37 --\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{n^2 +5n-1} - \sqrt{n^2 +3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ (\sqrt{n^2 +5n-1} - \sqrt{n^2 +3})( \sqrt{n^2 +5n-1} + \sqrt{n^2 +3}) }{ \sqrt{n^2 +5n-1} + \sqrt{n^2 +3} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n-4}{ \sqrt{n^2 +5n-1} + \sqrt{n^2 +3} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{5 - \frac{4}{n} }{ \sqrt{ \frac{1}{n} +5 - \frac{1}{n} } + \sqrt{ \frac{1}{n} }+ \frac{3}{n} } }}\)

[Nakahed90]

Jeżeli chcesz skrócić n to z pod pierwiastka musisz wyciągnąć \(\displaystyle{ n^2}\)

[dziczka]

to kolejny przykład z tych co podałam na samym początku

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }}\)

mnożę przez sprzężenia

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{( \sqrt{n+2}- \sqrt{n+1} )( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} )( \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} )}{( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} )( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} )( \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} )}}\)

po wymnożeniu wychodzi mi:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} )}{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }}\)

-- 15 sierpnia 2009, 13:45 --

Jeżeli chcesz skrócić n to z pod pierwiastka musisz wyciągnąć \(\displaystyle{ n^2}\)

czyli co? po tym jak wymnożę po sprzężeniu to podzielić wszystko przez n^2?

[miki999]

A nie lepiej było przemnożyć przez:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n} }{\sqrt{n+1}+ \sqrt{n}}}\)?
Już na oko widać, że mianownik się ładnie zredukuje.


Pozdrawiam.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+5n-1}=\sqrt{n^2(1+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2})}}\)

[dziczka]

dzięki, przykład 2 w końcu wyszedł, ale nadal mam problem z 1 i 3....