Zadanie brzmi:
Niech \(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{n}|} = x}\) i \(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{2n}|} = y}\). Przedstaw \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\) jako funkcję \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).
Mam tylko takie wzory:
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{\overline{s}_{\overline{n}|} - nv^n}{\delta}}\)
\(\displaystyle{ \overline{s}_{\overline{n}|} = (1+i)^n \overline{a}_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n - 1}{\delta}}\)
Stąd od biedy
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n x - nv^n}{\delta}}\)
Ale to tylko jako funkcja \(\displaystyle{ x}\), zresztą wyglądająca niezbyt satysfakcjonująco. Ma ktoś jakiś lepszy pomysł?
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
No ale wtedy to
\(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{2n}|} = y=\frac{(1+i)^{2n} - 1}{\delta} \cdot \frac{1}{(1+i)^{2n}}}\)
Tak?
Jeśli, tak to nie widzę, jak to dostawić do \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\)
O tym \(\displaystyle{ nv^n}\) da się coś więcej powiedzieć?
\(\displaystyle{ \overline{a}_{\overline{2n}|} = y=\frac{(1+i)^{2n} - 1}{\delta} \cdot \frac{1}{(1+i)^{2n}}}\)
Tak?
Jeśli, tak to nie widzę, jak to dostawić do \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\)
O tym \(\displaystyle{ nv^n}\) da się coś więcej powiedzieć?
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
O \(\displaystyle{ nv^n}\) wiadomo tylko tyle, że \(\displaystyle{ v}\) jest czynnikiem dyskontującym (\(\displaystyle{ v = \frac{1}{1+i}}\)). Można by też z \(\displaystyle{ y}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ v^n}\) i podstawić do \(\displaystyle{ n \cdot v^n}\), ale nie wiem, ile ma to sensu.
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
No to uproszczenia takie nic nie daje w praktyce, bo i tak w \(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|}}\) będzie wyrażenie jakieś \(\displaystyle{ *1+i)^n}\) zatem to ni jak nie ułatwi obliczeń, a wzór będzie wyglądał jeszcze gorzej.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
No nic, jedyne, co uzyskałem, to takie coś:
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x + \delta n y - n}{\delta v^n}}\)
Ale jak już pisałeś, zbyt wiele to nie daje. Chyba, że może masz jeszcze jakiś pomysł, żeby to poprawić. Dzięki za dotychczasowe odpowiedzi.
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x + \delta n y - n}{\delta v^n}}\)
Ale jak już pisałeś, zbyt wiele to nie daje. Chyba, że może masz jeszcze jakiś pomysł, żeby to poprawić. Dzięki za dotychczasowe odpowiedzi.
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
Serio nie spodziewałem się, że tak ładnie się uprosić. Niby zostało to nieszczęsne \(\displaystyle{ v^n}\), ale pomijając, to wygląda to całkiem nieźle.
Możesz rozpisać to z jeden lud dwa kroki wcześniej, bo może komuś to się przydać i tak to znajdzie na forum.
Tak przy okazji, to jest jakieś zadanie z matematyki aktuarialnej?
Możesz rozpisać to z jeden lud dwa kroki wcześniej, bo może komuś to się przydać i tak to znajdzie na forum.
Tak przy okazji, to jest jakieś zadanie z matematyki aktuarialnej?
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Ciągła renta rosnąca (skumulowana?).
Skorzystałem z tego, że po pomnożeniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ v^n}\) mamy
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x - nv^{2n}}{\delta v^n} = \frac{x}{\delta v^n} - \frac{n}{v^n} \frac{v^{2n}}{\delta}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y = \frac{1 - v^{2n}}{\delta} = \frac{1}{\delta} - \frac{v^{2n}}{\delta}.}\)
Połączenie tego w całość jest już wtedy raczej proste. Można jeszcze próbować z podstawianiem \(\displaystyle{ v^n = 1 - \delta x}\) i \(\displaystyle{ n = \frac{\mbox{ln}(1 - \delta x)}{- \delta}}\), ale wzór robi się po tym brzydki i nieczytelny.
\(\displaystyle{ \left( \overline{I} \overline{s} \right)_{\overline{n}|} = \frac{x - nv^{2n}}{\delta v^n} = \frac{x}{\delta v^n} - \frac{n}{v^n} \frac{v^{2n}}{\delta}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y = \frac{1 - v^{2n}}{\delta} = \frac{1}{\delta} - \frac{v^{2n}}{\delta}.}\)
Połączenie tego w całość jest już wtedy raczej proste. Można jeszcze próbować z podstawianiem \(\displaystyle{ v^n = 1 - \delta x}\) i \(\displaystyle{ n = \frac{\mbox{ln}(1 - \delta x)}{- \delta}}\), ale wzór robi się po tym brzydki i nieczytelny.
Pochodzi z książki, w której było zadanie z obligacji z dziwną treścią (pytałem o nie w innym poście): Ubezpieczenia na życie i komunikacyjne, K. Dziedziul, J. Czarnowska. Myślę więc, że jak najbardziej wchodzi w zakres matematyki aktuarialnej.Frey pisze:Tak przy okazji, to jest jakieś zadanie z matematyki aktuarialnej?