co to jest? K[a_1,...,a_n]

[h2co3]

Witam!
Jestem na pierwszym roku studiów i przez przypadek zainteresowałem się geometrią algebraiczną. Jednak jako, że mam drobne braki z algebrą, której jeszcze na studiach nie miałem (jedynie liniowa była), to mam pewne kłopoty (ale staram się nadrabiać :p). Mianowicie w skrypcie



na stronie 5 występuje oznaczenie \(\displaystyle{ k[a_1,...,a_n]}\) i przyznam nie bardzo wiem co ono oznacza. Jest to jakieś rozszerzenie ciała \(\displaystyle{ k}\)?

Podobnie na stronie 6 występuje oznaczenie \(\displaystyle{ k[V]}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem algebraicznym. Również nie jestem pewny co ono oznacza.

Byłbym niezwykle wdzięczny gdyby ktoś był w stanie mi pomóc.

[szw1710]

Wszystko jest pięknie wyjaśnione na str. 2. Dlatego nie piszę o co chodzi.

[h2co3]

W którym miejscu? Na stronie 2 widzę tylko, że napisano iż \(\displaystyle{ k[x_1,...,x_n]}\) oznacza pierścień wielomianów n zmiennych. Natomiast na stronie 5 napisane jest, że \(\displaystyle{ k[a_1,...,a_n]}\) jest jakąś algebrą. Ponadto na stronie 2 nie ma nic na temat zbioru \(\displaystyle{ k[V]}\).

[szw1710]

Pytałeś co oznacza \(\displaystyle{ k[x_1,\dots,x_n]}\) i właśnie to, co piszesz.

[h2co3]

Pytałem co oznacza \(\displaystyle{ k[a_1,...,a_n]}\) a wydaje mi się że na str 5 oznacza coś innego niż pierścień wielomianów (oznaczany w tym skrypcie \(\displaystyle{ k[x_1,...,x_n]}\)). Bo po co autor miałby pisać o jakiejś algebrze skoro to po prostu miałoby oznaczać zwykły pierścień wielomianów?

[marcinz]

W ogólniejszym sensie \(\displaystyle{ k[a_1,...,a_n]}\) oznacza najmniejszy pierścień zawierający elementy \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) oraz ciało \(\displaystyle{ k}\). Dla przykładu \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}}\). Natomiast jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem algebraicznym, to przez \(\displaystyle{ k[V]}\) rozumiemy zbiór tak zwanych funkcji regularnych, to znaczy funkcji \(\displaystyle{ f\colon V\to k}\) takich, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ n}\) (n to wymiar przestrzeni, w której zawarty jest zbiór \(\displaystyle{ V}\)) zmiennych \(\displaystyle{ F}\) spełniający dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in V}\) warunek \(\displaystyle{ F(x)=f(x)}\).

P.S. Zważywszy na twoje doświadczenie i uwagi autora notatek polecałbym coś łatwiejszego na początek. Poczytaj Basic Algebraic Geometry 1, I. Shafarevich.